Indici di omogeneità e di eterogeneità

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Data una distribuzione su k classi nominali p=(p₁,..,p_k), con p_i≥0 e ∑p_i=1, dove i p_i sono frequenze relative, densità di probabilità,...

I=I(p) funzione non costante e  simmetrica sulle componenti p_i si dice indice di eterogeneità se valgono le proprietà seguenti, (le commento enunciandole):

I) I(p)≥0

2) I(p) è minimo se un numero di p_i pari a 1-k è nullo e il p_i non nullo è uguale  a 1.

    I(p) è massimo se p_i=1/k

Questa proprietà definisce i punti di massima omogeneità (corrispondente alla minima eterogeneità, quindi quando I(p) è minimo); e di minima omogeneità, cioè di massima eterogeneità se I(p) è massimo.

Queste due proprietà potrebbero sembrare sufficienti, ma se valessero solo queste dovremmo accettare come indici di eterogeneità delle funzioni che potrebbero avere comportamenti assurdi tra minimo e massimo. Potrebbe accadere anche che la funzione si comporti così male da rendere il minimo non osservabile! Dunque introduciamo una terza proprietà:

3) Sia 0≤p_r≤p_s.  Se p_r viene diminuita di una quantità positiva, sia d, e p_s viene aumentata della stessa quantità, allora I(p) deve diminuire o al più rimanere costante.

Questa prorietà garantisce una certa regolarità di I(p) nel suo comportamento tra min e max. Non vorrei che fosse un azzardo, ma questa proprietà mi ricorda abbastanza il Dalton's transfer principle.

La quarta proprietà di questi indici riguarda la 0-indifferenza:

4) I_k(1/k,...,1/k) deve essere crescente o almeno non decrescente se I_k è 0-indifferente.

Dove I_k è 0-indifferente se

Questa proprietà determinare il comportamento di I_k al variare di k e come vedi siamo in condizioni di massima eterogeneità. Quindi questa sarà utile soltanto se dovrai passare da distribuzioni di k classi a distribuzioni di h classi. In sostanza quest'ultima proprietà esprime il fatto che sia lecito un aumento dell'eterogeneità all'aumentare di k.