Per essere invertibile una funzione deve essere iniettiva?

Ciao giacomo22, credo che per risolvere il tuo problema ti basti leggere queste lezioni:

Invertibilità di funzioni da R a R

Come invertire una funzione biunivoca, (o anche solo iniettiva)

La funzione deve essere una funzione iniettiva, ma nulla ti vieta di considerare solo una parte del suo dominio su cui risulta iniettiva, per esempio in questo caso puoi restringere il dominio della funzione a [0,+∞).

Ma quando mi si chiede se esiste l'inversa di una funzione cosa rispondo per esmpio nel caso di y=x² ? 

Si restringendo opportunamente dominio e codominio, in  modo da renderla biunivoca. Come hai letto nelle lezioni che ti ho linkato, una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca. Quindi per invertire y=x² devi restringere il suo dominio in modo da renderla iniettiva. Inoltre, come è indicato nella seconda lezione che ti ho suggerito devi restringere il codominio in modo che sia suriettiva. In sostanza per invertire y=x² devi considerare come dominio solo le x positive: [0,+∞) e come codominio solo le y positive.

Scusami ma ancora non sono riuscito a capire: prendendo in considerazione ad esempio y=x² scrivendo l'inversa mi ritrovo con x=+sqrt(y) ed y=-sqrt(y) cioè un ribaltamendo rispetto alla bisettrice y=x

Cioè per vedere se esiste basta esplicitare in funzione di x e una volta trovato il dominio dell'inversa al professore dico che per questa funzione esiste l'inversa solo nelgli intervalli in cui è definito il dominio, e cio corrisponde al fatto che nei punti in cui non è definito il dominio dell'inversa la funzione di partenza non è iniettiva?

Potresti farmi due esepi in cui l'inversa non esiste? 

Giacomo22, pensa alle definizioni:

una funzione è invertibile se e solo se  è biunivoca cioè è invertibile se e solo se è sia iniettiva che suriettiva. Come hai fatto notare la funzione da te scelta non è né iniettiva né suriettiva. Quindi non hai scelta: la funzione non è invertibile globalmente!

Al tuo professore devi dire che l'unico modo possibile per invertire la funzione è restringerne il dominio e il codominio.

Per gli esempi y=x⁴ e y=sin(x).

quindi basta che la funzione e discontinua in un punto che non è più invertibile?

per esempio la funzione y=(x+2)/(x+1) è invertibile anche se in 1 non è suriettiva?

Esatto!

Però la sua inversa riesco a trovarla, quindi come logica dovrebbe essere invertibile!!!

Switch

Il fatto è che è tutta questione di come restringi il dominio e di come restringi il codominio. Se hai una funzione e ti chiedi "è iniettiva/suriettiva?" senza specificare nient'altro il riferimento è all'intero asse reale.

Se poi specifichi il dominio o restringi l'insieme di definizione in modo tale da escludere punti o sottoinsiemi che prima causavano la perdità dell'iniettività, la funzione definita sul dominio ristretto diventa come per incanto iniettiva.

Stesso discorso per la suriettività: una funzione può essere o non essere suriettiva, dunque avere codominio che è tutto R oppure no. MA se restringi il codominio all'immagine della funzione, questa diventa suriettiva.

Il punto che è tipicamente trascurato e genera confusione è: le funzioni definite a partire da una restrizione del dominio o del codominio sono nuove funzioni, anche se la forma analitica resta la stessa rispetto alla funzione di partenza.

Prova a leggere gli altri articoli che trovi nella categoria di lezioni "le funzioni da R a R in generale".

Namasté!

Grazie mille :) ora è tutto più chiaro