Dimostrare che una funzione è crescente

Ciao Ely!

Questo esercizio si può risolvere anche senza le derivate (cioè senza lo studio della monotonia mediante la derivata prima), quindi lo facciamo così:

osserviamo bene la funzione

vogliamo stabilire su quali intervalli essa è crescente o decrescente. Riscriviamola come segue

Ora cerchiamo di capire l'andamento di questa funzione. Prima di tutto è una funzione pari, cioè , conseguentemente sarà simmetrica rispetto all'asse y.

Essendo simmetrica rispetto all'asse y possiamo limitarci a studiare l'andamento della funzione nell'intervallo [0, +∞) e dedurremo quello in (-∞,0] proprio sfruttando tale simmetria.

La funzione è definita in 0 e f(0)=2 in particolare osserviamo come il denominatore (1+x ² ) è sempre positivo, quindi al variare di x decrescerà monotonamente poiché ogni volta andrai a togliere a 1 una quantità positiva più piccola di 1.

In particolare, al crescere di x:

cresce, dunque

decresce, dunque

decresce (aggiungi a 1 una quantità via via più piccola).

Quindi la funzione raggiunge il suo massimo in 0 e decresce man mano che x aumenta. All'infinito, basta calcolare il limite che vale 1.

Quindi la tua funzione da 0 in poi decresce, per simmetria rispetto all'asse y, (come abbiamo detto prima la funzione è pari), dovrà crescere nell'intervallo (-∞,0].

Ecco fatto! Ovviamente questo esercizio si può risolvere studiando la monotonia della funzione attraverso le derivate!

Alpha.