Ciao Ely!
Questo esercizio si può risolvere anche senza le derivate (cioè senza lo studio della monotonia mediante la derivata prima), quindi lo facciamo così:
osserviamo bene la funzione
vogliamo stabilire su quali intervalli essa è crescente o decrescente. Riscriviamola come segue
Ora cerchiamo di capire l'andamento di questa funzione. Prima di tutto è una funzione pari, cioè
, conseguentemente sarà simmetrica rispetto all'asse y.
Essendo simmetrica rispetto all'asse y possiamo limitarci a studiare l'andamento della funzione nell'intervallo [0, +∞) e dedurremo quello in (-∞,0] proprio sfruttando tale simmetria.
La funzione è definita in 0 e f(0)=2 in particolare osserviamo come il denominatore (1+x 2 ) è sempre positivo, quindi
al variare di x decrescerà monotonamente poiché ogni volta andrai a togliere a 1 una quantità positiva più piccola di 1.
In particolare, al crescere di x:
cresce, dunque
decresce, dunque
decresce (aggiungi a 1 una quantità via via più piccola).
Quindi la funzione raggiunge il suo massimo in 0 e decresce man mano che x aumenta. All'infinito, basta calcolare il limite che vale 1.
Quindi la tua funzione da 0 in poi decresce, per simmetria rispetto all'asse y, (come abbiamo detto prima la funzione è pari), dovrà crescere nell'intervallo (-∞,0].
Ecco fatto! Ovviamente questo esercizio si può risolvere studiando la monotonia della funzione attraverso le derivate!
Alpha.
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