Dimostrare che una funzione è crescente

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Ciao, non riesco a risolvere questo esercizio sulle funzioni crescenti: l'esercizio dice di considerare la funzione

 

y = (x^2+2)/(x^2+1)

 

e chiede di dimostrare che è crescente per x>0.

Grazie mille

Domanda di ely

 
Soluzioni

  • Ciao Ely!

    Questo esercizio si può risolvere anche senza le derivate (cioè senza lo studio della monotonia mediante la derivata prima), quindi lo facciamo così:

    osserviamo bene la funzione

    f(x) = (x^2+2)/(x^2+1)

    vogliamo stabilire su quali intervalli essa è crescente o decrescente. Riscriviamola come segue

    f(x) = (x^2+2)/(x^2+1) = (x^2+1+1)/(x^2+1) = 1+(1)/(x^2+1)

    Ora cerchiamo di capire l'andamento di questa funzione. Prima di tutto è una funzione pari, cioè f(-x) = f(x), conseguentemente sarà simmetrica rispetto all'asse y.

    Essendo simmetrica rispetto all'asse y possiamo limitarci a studiare l'andamento della funzione nell'intervallo [0, +∞) e dedurremo quello in (-∞,0] proprio sfruttando tale simmetria.

    La funzione è definita in 0 e f(0)=2 in particolare osserviamo come il denominatore (1+x 2 ) è sempre positivo, quindi 1-(1/(1+x^2)) al variare di x decrescerà monotonamente poiché ogni volta andrai a togliere a 1 una quantità positiva più piccola di 1.

    In particolare, al crescere di x:

    1+x^2 cresce, dunque

    (1)/(1+x^2) decresce, dunque

    1+(1)/(x^2+1) decresce (aggiungi a 1 una quantità via via più piccola).

    Quindi la funzione raggiunge il suo massimo in 0 e decresce man mano che x aumenta. All'infinito, basta calcolare il limite che vale 1.

    Quindi la tua funzione da 0 in poi decresce, per simmetria rispetto all'asse y, (come abbiamo detto prima la funzione è pari), dovrà crescere nell'intervallo (-∞,0].

    Ecco fatto! Ovviamente questo esercizio si può risolvere studiando la monotonia della funzione attraverso le derivate!

    Alpha.

    Risposta di Alpha
 
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