minimi,massimi e Hasse
N*xN* si consideri la relazione binaria Σ così defnita:
(a,b)Σ(c,d)↔(a,b)=(c,d) oppure a^b < c^d (^ significa elevato)
è l esercizio dell altra volta ma questa volta bisogna:
1)determinare massimi,minimi,elementi minimali,massimali,dire se è un reticolo e dire perchè
2) considerato il sottoinsieme L={(1,21),(2,2),(4,1),(5,1),(3,2)}
si disegni il diagramma di Hasse di (L,Σ) e si dica se è un reticolo e in caso afferamtivo se è distributivo e/o complementato.
del primo punto ho trovato solo il minimo (1,1)
del secondo punto (non so disegnre qui il diagramma di Hasse) ma ho messo (1,21) come ultimo elemento,a questo ho collegato (salendo verso l alto) (2,2) e (4,1) ,poi ho collegato questi a (5,1) che infine viene collegato a (3,2) (so che è molto contorta questo discorso..).
Ora so che (1,21) e (3,2) sono rispettivamente min e max e quindi inf e sup...allora questo dovrebbe essere un reticolo giusto?
So anche che non è distributivo perchè è privo di sottoreticoli triangonali e pentagonali.
Ma è complementato?
......
Risposta di Giulialg88
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Risposta di Omega
posso lasciarla così e voi mi rispondete quando avete tempo? o devo per forza ripostarla domani(dato che tra poco sono le 19)? (ho provato a scrivere via mail ma non posso scriverti..almeno così dice..)
Risposta di Giulialg88
Lasciamola così, non c'è problema! 
Risposta di Omega
Ciao Giulia!
Allora iniziamo ad occuparci del primo punto:
prima di tutto dobbiamo verificare che la relazione Σ sia una relazione d'ordine. Cioè che sia riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Fare questa verifica è abbastanza semplice, (con un po' di pazienza sulla transitività).
Ora, diamo una definizione rigorosa di elemento massimale e minimale:
Un elemento x appartenente a (X,≤) si dice massimale se x≤y implica x=y.
Un elemento x si dirà minimale se y≤x implica y=x.
Prova a cercare gli elementi massimali e minimali utilizzando questa definizione.
A questo punto dovrai verificare che (N* x N*, Σ) sia un reticolo.
La condizione per cui un poset è un reticolo è che dati x,y elementi dell'insieme parzialmente ordinato si ha che {x,y} ammette estremo superiore e estremo inferiore. Consideriamo due generici elementi di N* x N*, siano (a,b) e (c,d). Vogliamo capire se {(a,b),(c,d)} ammette sup e inf. Considera le due coppie (1,2) e (1,5) abbiamo che (1,2)≠(1,5), ma 12 non è minore di 15, sono uguali. Quindi abbiamo trovato una coppia di elementi non confrontabili, allora (N*xN*,Σ) non è un reticolo!
A fronte di questo (1,1) non è un minimo è solo un elemento minimale com tutte le coppie (1,b). Il massimo? N non è limitato...
Risposta di Alpha
Giulia, mi è venuto un dubbio...sei sicura che la relazione non fosse definita con ≤ invece che con il minore stretto? Questo risolverebbe qualche problema sia su N*xN* e darebbe una buona definizione su L come reticolo, infatti, senza il minore uguale anche le coppie del tipo (2,2) (4,1), o (2,3) (8,1) non sarebbero confrontabili con Σ, infatti sono diverse e 22=4, 23=8...
Risposta di Alpha
nono è solo <
Risposta di Giulialg88
sono riuscita grazie lo stesso
Risposta di Giulialg88