Soluzioni
  • Prendiamo la generica equazione dell'iperbole (nel tuo testo a e b sono invertiti rispetto allo standard, dato che stat Rosa nomine pristina, procedo dalla tua equazione)

    Gli asintoti dell'iperbole possono essere scritti nella forma

    y=\pm \frac{a}{b}x

    quindi nel nostro caso troveremo

    \frac{a}{b}=\pm \frac{3}{\sqrt{5}}\iff b^2= \frac{5}{9} a^2

    Ottenendo quindi la prima condizione su a e b. Sostituendo nell'equazione dell'iperbole:

    \frac{x^2}{\frac{5}{9}a^2}- \frac{y^2}{a^2}=-1

    Mettiamo a sistema con l'equazione della circonferenza fornita dall'esercizio

    x^2+y^2=13

    \begin{cases}\frac{x^2}{\frac{5}{9}a^2}-\frac{y^2}{a^2}=-1\\ x^2+y^2=13\end{cases}

    Questo sistema si può risolvere ponendo: X=x^2 e Y=y^2

    \begin{cases}\frac{X}{\frac{5}{9}a^2}-\frac{Y}{a^2}=-1\\ X+Y=13\end{cases}

    Grazie alla posizione abbiamo ottenuto un sistema lineare di due equazioni con due incognite. Otterremo le soluzioni:

    X=\frac{65-5a^2}{14}\quad Y=\frac{117+5a^2}{14}

    Ritornando nelle variabili x e y:

    x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{65-5a^2}{14}}\quad y_{1,2}=\sqrt{\frac{117+5a^2}{14}}

    I quattro punti di intersezione, vertici del rettangolo, sono:

    A\left(-\sqrt{\frac{65-5a^2}{14}}, -\sqrt{\frac{117+5a^2}{14}}\right)

    B\left(-\sqrt{\frac{65-5a^2}{14}}, \sqrt{\frac{117+5a^2}{14}}\right)

    C\left(\sqrt{\frac{65-5a^2}{14}},\sqrt{\frac{117+5a^2}{14}}\right)

    D\left(\sqrt{\frac{65-5a^2}{14}}, -\sqrt{\frac{117+5a^2}{14}}\right)

    Osserva che i punti A e B hanno la stessa ascissa, di conseguenza:

    AB=\left|y_A-y_B\right|=2\sqrt{\frac{117+5a^2}{14}}

    Mentre B e C hanno le stesse ordinate dunque la loro distanza è

    BC=|x_{B}-x_{C}|=2\sqrt{\frac{65-5a^2}{14}}

    Ricordando che il perimetro di un rettangolo è il doppio della somma tra AB e BC, possamo quindi impostare l'equazione:

    2p=20\iff 2(AB+BC)=20\iff AB+BC=10

    che conduce l'equazione irrazionale:

    2\sqrt{\frac{117+5a^2}{12}}+2\sqrt{\frac{65-5a^2}{12}}=10

    che risolta conduce alle soluzioni:

    a=\pm \frac{3\sqrt{5}}{5}

    dunque l'equazione dell'iperbole è

    x^2-\frac{5}{9}y^2=-1

    mentre i vertici sono:

    A(-2,-3),\,\,B(-2,3),\,\,C(2,3),\,\, D(2,-3).

    Finito.

    Risposta di Ifrit
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