Problema su iperbole che individua un rettangolo

Question

Ribuongiorno, mi potete spiegare come svolgere un esercizio sull'iperbole nel piano cartesiano e sui vertici di un rettangolo? Scrivo il testo confidando nel vostro prezioso aiuto. L'iperbole (x^2)/(b^2)−(y^2)/(a^2) = −1 ha per asintoti le rette 3x±√(5)y = 0 e incontra la circonferenza x^2+y^2 = 13 in quattro punti, vertici di un rettangolo di misura 20. Scrivere l'equazione dell'iperbole e calcolare le coordinate dei vertici del rettangolo. Grazie in anticipo a chi mi risponderà!

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Prendiamo la generica equazione dell'iperbole (nel tuo testo a e b sono invertiti rispetto allo standard, dato che stat Rosa nomine pristina, procedo dalla tua equazione) Gli asintoti dell'iperbole possono essere scritti nella forma y = ±(a)/(b)x quindi nel nostro caso troveremo (a)/(b) = ±(3)/(√(5)) ⇔ b^2 = (5)/(9) a^2 Ottenendo quindi la prima condizione su a e b. Sostituendo nell'equazione dell'iperbole: (x^2)/((5)/(9)a^2)−(y^2)/(a^2) = −1 Mettiamo a sistema con l'equazione della circonferenza fornita dall'esercizio x^2+y^2 = 13 (x^2)/((5)/(9)a^2)−(y^2)/(a^2) = −1 ; x^2+y^2 = 13 Questo sistema si può risolvere ponendo: X = x^2 e Y = y^2 (X)/((5)/(9)a^2)−(Y)/(a^2) = −1 ; X+Y = 13 Grazie alla posizione abbiamo ottenuto un sistema lineare di due equazioni con due incognite. Otterremo le soluzioni: X = (65−5a^2)/(14) Y = (117+5a^2)/(14) Ritornando nelle variabili x e y: x_(1,2) = ±√((65−5a^2)/(14)) y_(1,2) = √((117+5a^2)/(14)) I quattro punti di intersezione, vertici del rettangolo, sono: A(−√((65−5a^2)/(14)),−√((117+5a^2)/(14))) B(−√((65−5a^2)/(14)), √((117+5a^2)/(14))) C(√((65−5a^2)/(14)),√((117+5a^2)/(14))) D(√((65−5a^2)/(14)),−√((117+5a^2)/(14))) Osserva che i punti A e B hanno la stessa ascissa, di conseguenza: AB = |y_A−y_B| = 2√((117+5a^2)/(14)) Mentre B e C hanno le stesse ordinate dunque la loro distanza è BC = |x_(B)−x_(C)| = 2√((65−5a^2)/(14)) Ricordando che il perimetro di un rettangolo è il doppio della somma tra AB e BC, possamo quindi impostare l'equazione: 2p = 20 ⇔ 2(AB+BC) = 20 ⇔ AB+BC = 10 che conduce l'equazione irrazionale: 2√((117+5a^2)/(12))+2√((65−5a^2)/(12)) = 10 che risolta conduce alle soluzioni: a = ±(3√(5))/(5) dunque l'equazione dell'iperbole è x^2−(5)/(9)y^2 = −1 mentre i vertici sono: A(−2,−3), , ,B(−2,3), , ,C(2,3), , , D(2,−3). Finito.