Scrivere la formula di Mc Laurin al settimo ordine

Devo trovare la formula di Mc Laurin del settimo ordine di una funzione piuttosto complicata:


f(x)=x^7 cos^3x + |x|x^8/(cos x + sqrt(4+2x))

Avete qualche suggerimento per calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al settimo ordine? Grazie mille..

Domanda di Lely91
Soluzioni

Ciao Lely91, al settimo ordine?!?! Siamo al limite del sadismo...Laughing

Un attimo di pazienza e ti rispondo.

Risposta di Omega

Come ben saprai la formula di Mc Laurin altro non è se non lo sviluppo in serie di Taylor della funzione nel punto x0=0.

Lo sviluppo di Taylor si calcola come

y = Σ_(n = 0)^(N)(f^(n)(x))/(n!)(x−x_(0))^n+O((x−x_(0))^(N+1))

dove N è l'ordine di arresto, mentre

O((x−x_(0))^(N+1))

è il resto.

C'è di buono che x0=0, quindi almeno le valutazioni delle derivate

f^(n)(x_(0))

non saranno complicate.

Consiglio n.1: spezza la funzione nella somma di due funzioni, e calcolane separatamente gli sviluppi in serie di Mc-Laurin.

Fammi sapere come procede.

Namasté!

Risposta di Omega

La cosa che non mi torna è che nell'esercizio viene detto che sono richiesti pochi calcoli altrimenti non è chiara la formula. In un esercizio fatto dal professore ho visto che in casi come questo lui raccoglie e mette f(x)=g(x)e(x)x però in questo caso no saprei come fare!

Risposta di Lely91

Per minimizzare gli sforzi, potresti sviluppare la parentesi del secondo addendo e scrivere la funzione come

f(x) = g(x)h(x)

raccogliendo in g(x) tutto quel che puoi raccogliere, vale a dire

g(x) = x^7

e poi calcolarti le derivate con la regola di derivazione del prodotto di due funzioni, senza esplicitarle, cioè ad esempio

f^(1)(x) = g^(1)(x)h(x)+g(x)h^(1)(x)

ora devi solo osservare che

g^(n)(x_(0) = 0)

è sempre nulla fino a - guarda caso - proprio il settimo ordine, caso in cui la derivata vale 7. Laughing

Prova, e fammi sapere.

Namasté!

Risposta di Omega

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