Massimi e minimi assoluti in due variabili

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trovare massimi e minimi assoluti di:

f(x,y) = ( 3 X + 2 Y )2 sulla curva di equazione

4 X2 + Y2 = 4

usare il metodo della parametrizzazione.

Domanda di Danilo

 
Soluzioni

  • Un attimo di paziena e rispondo Danilo...

    Risposta di Alpha

  • Definiamo una parametrizzazione del bordo dell'ellisse descritto dall'equazione:

     

    x^2+(y^2)/(4) = 1

     

    Sia

     

    φ:[0,2π) → R^2


    θ ↦ (cosθ, (1)/(2)sinθ)

     

    Ora studiamo la funzione in una sola variabile data dalla composizione f dopo φ:

     

    f circφ (θ) = (cosθ+sinθ)^2

     

    Questa è una funzione in una sola variabile, non resta che derivarla (df/dθ) e porre la derivata uguale a zero.

    Risposta di Alpha

  • Potrebbe risolvermela gentilmente?grazie

    Risposta di Danilo

  • Faccio le veci di Alpha: basta derivare

    f(θ) = (cos(θ)+sin(theta))^2

    cioè

    f'(θ) = 2(cos(θ)+sin(θ))(-sin(θ)+cos(θ)) = 2(cos^(2)(θ)-sin^(2)(θ)) = 2cos(2θ)

    e porre la derivata uguale a zero

    cos(2θ) = 0arrow 2θ = (π)/(2), (3π)/(4)

    cioè

    θ = (π)/(4), (3π)/(8).

    Ora studiamo il segno della derivata prima

    cos(2θ) ≥ 0

    che ci dice che è positiva per

    θ∈(0,(π)/(4)) U ((3π)/(8),2π)

    e quindi in tali intervalli la funzione cresce. Morale: ha un massimo in pi/4, un minimo in 3pi/8.

    A questo punto puoi usare nuovamente la parametrizzazione per risalire alle ascisse e alle ordinate dei punti.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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