Soluzioni
  • Dobbiamo studiare la continuità, la derivabilità e la differenziabilità di una funzione di due variabili in cui compare un valore assoluto, che fortunatamente in questo caso non metterà i bastoni tra le ruote.

    Nel corso della spiegazione ti rimanderò, tra le altre cose, alle lezioni di riferimento di Analisi 2 su cui si fonda lo svolgimento. Occhi aperti. ;)

    Continuità della funzione a due variabili

    Iniziamo lo studio della continuità della funzione di due variabili nell'origine, ossia nel punto di coordinate (x_0,y_0)=(0,0). Ricordiamo che una funzione di due variabili f(x,y) è continua in un punto (x_0, y_0) se e solo se:

    1) la funzione è definita in (x_0, y_0), ossia il punto considerato fa parte del dominio della funzione a due variabili;

    2) il limite in due variabili

    \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)

    deve esistere;

    3) il limite del punto 2. deve valere esattamente f(x_0,y_0), ossia deve sussistere la seguente uguaglianza

    \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0, y_0)

    Applichiamo questi tre punti all'esercizio osservando che nel punto (0,0) la funzione f(x,y) è ben definita ed assume il valore f(0,0)=0.

    Il nostro scopo quindi diventa quello di dimostrare che il seguente limite in due variabili è esattamente uguale a f(0,0)=0, o detto in termini matematici:

    \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{y^2|x y|(x^3-y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0

    Esistono diverse tecniche per dimostrare che tale limite è zero, una delle quali consiste nel passaggio alle coordinate polari: bisogna effettuare la seguente sostituzione

    \begin{cases}x=\rho\cos(\theta)\\ y=\rho\sin(\theta)\end{cases}

    dove \rho\ge 0 rappresenta il raggio delle coordinate polari mentre 0\le \theta<2\pi prende il nome di anomalia.

    Naturalmente quando si segue questa strada, bisogna aver chiaro cosa sono seno e coseno e le proprietà di cui esse godono.

    In sostanza dobbiamo dimostrare che esiste una funzione positiva o al più nulla g che dipende esclusivamente dal raggio \rho e che gode di due proprietà:

    \\ \bullet \ \ |f(\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta))-f(0, 0)|\le g(\rho)\\ \\ \bullet\ \ \lim_{\rho\to 0}g(\rho)=0

    dove con |\cdot| indichiamo il valore assoluto.

    Detto questo costruiamo la quantità

    \\ |f(\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta))-f(0,0)|=\\ \\ \\ =\left|\frac{\rho^2\sin^2(\theta)|\rho\cos(\theta)\cdot\rho\sin(\theta)| (\rho^3\cos^3(\theta)-\rho^2\sin^2(\theta))}{\sqrt{\rho^2\sin^2(\theta)+\rho^2\cos^2(\theta)}}\right|=(\bullet \bullet)

    Grazie al raccoglimento totale di \rho^2 il radicando presente nell'espressione diventa

    \rho^2\sin^2(\theta)+\rho^2\cos^2(\theta)=\rho^2(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta))=

    e facendo intervenire l'identità fondamentale della Trigonometria (vedi formule trigonometriche) avremo:

    =\rho^2

    e dunque, tenendo a mente la non negatività di \rho, scopriamo che il denominatore dell'espressione diventa:

    \sqrt{\rho^2\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{\rho^2}=\rho

    Mediante queste semplici accorgimenti algebrici ed altre semplici manipolazioni algebriche possiamo riscrivere l'espressione (\bullet \bullet) come

    \\ (\bullet \bullet)=\left|\frac{\rho^6\sin^2(\theta)|\sin(\theta)\cos(\theta)|(\rho\cos^3(\theta)-\sin^2(\theta))}{\rho}\right|=\\ \\ \\=\left|\rho^5\sin^2(\theta)|\sin(\theta)\cos(\theta)|(\rho\cos^3(\theta)-\sin^2(\theta))\right|=

    Facciamo intervenire le proprietà del valore assoluto ed in particolare la proprietà secondo cui il valore assoluto di un prodotto coincide con il prodotto dei valori assoluti dei singoli fattori.

    =\rho^{5}\sin^2(\theta)|\sin(\theta)|\cdot|\cos(\theta)|\cdot|\rho\cos^3(\theta)-\sin^2(\theta)|

    Adesso attenzione, concentrazione! Sia il seno che il coseno sono funzioni limitate, e godono delle seguenti disuguaglianze notevoli

    \\ |\sin(\theta)|\le 1\quad\forall\theta\in [0, 2\pi)\\ \\ |\cos(\theta)|\le 1\quad\forall \theta\in [0, 2\pi)

    È grazie ad esse che possiamo maggiorare l'ultima espressione ottenuta come segue:

    \\ \rho^{5}\sin^2(\theta)|\sin(\theta)|\cdot|\cos(\theta)|\cdot|\rho\cos^3(\theta)-\sin^2(\theta)|\le \rho^{5}|\rho\cos^3(\theta)-\sin^2(\theta)|\le

    e facendo intervenire la disuguaglianza triangolare

    \le \rho^{5}(\rho|\cos^3(\theta)|+|\sin^2(\theta)|)\le \rho^{6}+\rho

    Abbiamo determinato finalmente la funzione g(\rho)=\rho^6+\rho e soddisfa tutte le richieste, infatti

    |f(\rho\cos(\theta), \rho\sin(\theta))-f(0,0)|\le g(\rho)

    ed inoltre, come si evince facilmente

    \lim_{\rho\to 0}g(\rho)=\lim_{\rho\to 0}\rho^6+\rho=0

    Abbiamo dimostrato che

    \lim_{(x, y)\to (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)

    ossia che la funzione data è continua nell'origine.

    Derivabilità della funzione a due variabili

    Continuiamo con la derivabilità della funzione nell'origine che può essere studiata mediante le definizioni delle derivate parziali: fortunatamente non è necessario ricorrere al calcolo delle derivate parziali, la mole di calcoli sarebbe stata imbarazzante.

    Affinché la funzione data sia derivabile parzialmente rispetto ad x nel punto (0,0) dobbiamo richiedere che esista finito il seguente limite nella variabile h\to 0

    \\ f_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h, 0)-f(0,0)}{h}=\\ \\ =\lim_{h\to 0}0=0

    (è un limite più che immediato). Poiché il limite esiste ed è finito, possiamo concludere che la funzione f(x,y) è derivabile parzialmente rispetto ad x nel punto (0,0) e inoltre si ha che f_{x}(0,0)=0.

    Procediamo con la derivata parziale rispetto ad y: in tal caso dobbiamo analizzare il seguente limite nella variabile k\to 0

    f_{y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\lim_{k\to 0}0=0

    Anche in questo caso il limite esiste ed è finito, di conseguenza possiamo concludere che la funzione f(x,y) è derivabile parzialmente rispetto ad y nel punto (0,0) e inoltre f_{y}(0,0)=0.

    Poiché la funzione è derivabile in (0,0) sia rispetto ad x e sia rispetto ad y possiamo asserire che essa è derivabile in (0,0).

    Differenziabilità della funzione a due variabili

    Dedichiamo la nostra attenzione allo studio della differenziabilità della funzione nel punto (0,0): purtroppo non sarà una passeggiata di salute, questo è certo.

    Obiettivo: dimostrare che sussiste la seguente uguaglianza

    \lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{f(h, k)-f(0,0)-f_{x}(0,0)h-f_{y}(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0

    ossia dobbiamo dimostrare che il limite in due variabili al primo membro è esattamente zero.

    Scriviamo i pezzi che intervengono nel limite

    \\ f(h, k)=\frac{k^2|h\cdot k|(h^3-k^2)}{\sqrt{h^2+k^2}}\mbox{ con }(h, k)\ne (0,0)\\ \\ \\ f(0,0)=0\\ \\ \\ f_{x}(0,0)=0\mbox{ e }f_y(0,0)=0

    pertanto con le informazioni ottenute possiamo riscrivere il limite come

    \lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{\frac{k^2|h\cdot k|(h^3-k^2)}{\sqrt{h^2+k^2}}}{\sqrt{h^2+k^2}}=0

    Scriviamo in forma normale la frazione di frazioni, che così com'è non ha certo un bell'aspetto

    \lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{k^2|h\cdot k|(h^3-k^2)}{(h^2+k^2)}=0

    Per dimostrare l'uguaglianza procederemo esattamente come prima, mediante l'uso delle coordinate polari:

    poniamo h=\rho\cos(\theta)\mbox{ e }k=\rho\sin(\theta) e consideriamo la seguente espressione

    \left|\frac{\rho^2\sin^2(\theta)|\rho^2 \cos(\theta)\sin(\theta)|\cdot \rho^2(\rho\cos^3(\theta)-\sin^2(\theta))}{\rho^2\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\theta)}\right|=

    che grazie alle solite manipolazioni algebriche diventa

    \\ =|\rho^2\sin^2(\theta)\cdot\rho^2|\sin(\theta)\cos(\theta)| (r\cos^3(\theta)-\sin^2(\theta))|\le \\ \\   \le r^3|\rho\cos^3(\theta)-\sin^2(\theta)|\le\\ \\ \le r^{3}(|\rho\cos^3(\theta)|+|\sin^2(\theta)|)\le \\ \\ \le \rho^3(\rho+1)=\rho^4+\rho^3

    e poiché

    \lim_{\rho\to 0}(\rho^4+\rho^3)=0

    allora possiamo concludere che il limite che assicura la differenziabilità della funzione in (0,0) è esattamente zero.

    In conclusione la funzione f(x,y) è:

    - continua in (0,0);

    - derivabile in (0,0);

    - differenziabile in (0,0).

    L'esercizio è terminato, finalmente! ;)

    Risposta di Ifrit
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