Risolvere una disequazione logaritmica di secondo grado

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Non riesco a risolvere un'equazione logaritmica con logaritmi fino al secondo grado, oltretutto sono in base 1/4 il che complica ulteriormente le cose. Mi aiutate voi per piacere? Sarebbe questa

 

log_((1)/(4))^2(x)+2log_((1)/(4))(x) > (3)/(2)-(1)/(2)log_((1)/(4))(x)

Domanda di Effy27

 
Soluzioni

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    Arrivo Effy27, solo un attimo, nel frattempo puoi leggere le lezioni sulle disequazioni logaritmiche!

    Dopo aver calcolato le CE, che in questo caso sono date da:

    x > 0

    questa disequazione logaritmica si risolve ponendo y=log(1/4)(x), in questo modo ottieni la disequazione di secondo grado in y data da

    y^2+2y > (3)/(2)-(1)/(2)y

    Svolgendo qualche calcola la si porta nella forma:

    y^2+(5)/(2)y-(3)/(2) > 0

    Moltiplichiamo entrambi i membri della disequazione per 2, essendo un numero positivo, la disequazione non cambia segno, otteniamo:

    2y^2+5y-3 > 0

    L'equazione di secondo grado associata ha soluzioni

    y_(1,2) = (-5±√(25+24))/(4)

    cioè y1=-3 e y2=1/2. Dunque la disequazione ha soluzioni:

    y < -3

    e

    y > (1)/(2)

    Ora dobbiamo ricordarci che avevamo posto y=log(1/4)(x). Quindi dobbiamo risolvere

    log_((1)/(4))(x) < -3

    e

    log_((1)/(4))(x) > (1)/(2)

    La prima si risolve in questo modo:

    log_((1)/(4))(x) < -3

    log_((1)/(4))(x) < -3log_((1)/(4))(1)/(4)

    log_((1)/(4))(x) < log_((1)/(4))(1)/(4)^(-3)

    x > ((1)/(4))^(-3)

    (ho cambiato il verso perché la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1...)

    x > 4^3

    x > 64

    La seconda:

    log_((1)/(4))(x) > (1)/(2)

    log_((1)/(4))(x) > (1)/(2)log_((1)/(4))(1)/(4)

    log_((1)/(4))(x) > log_((1)/(4))((1)/(4))^((1)/(2))

    x < (1)/(2)

    Confrontando la seconda soluzione con le condizioni di esistenza abbiamo che x deve essere compresa tra 0 e 1/2.

    Risposta di Alpha

  • Grazie! Tutto chiarissimo! :)

    Risposta di Effy27
 
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