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  • Arrivo giulialg88, abbi solo ancora un po' di pazienza!

    Risposta di Alpha
  • I reticoli mettono spesso in difficoltà, cercherò di farti vedere come essi siano definibili in due modi: uno riguardante la teoria degli ordinamenti, l'altro tipico dell'algebra:

     

    Definizione 1: Un reticolo R è un poset (partial ordered set) (R,≤), cioè un insieme parzialmente ordinato, abbastanza particolare, infatti, ogni coppia di elementi di un reticolo ammette inf e sup. Cioè un estremo inferiore e un estremo superiore.

    Per la definizione di estremo superiore ed inferiore ti consiglio la lettura della lezione del link. Cerco comunque di darti una spiegazione non troppo generale, breve e spero chiara, di seguito:

    Facciamo qualche esempio semplice, prendi un intervallo aperto e limitato in R, sia (a,b). Questo intervallo ha estremo superiore ed inferiore: rispettivamente b (il sup), e a (l'inf). Questi non sono massimo e minimo, infatti la condizione che rende massimo un estremo superiore è che appartenga all'insieme. Quindi considerando I=(a,b), come dicevo sopra abbiamo che a=inf(I) e b=sup(I). Se considerassimo I=[a,b], allora a=inf(I)=min(I) e b=sup(I)=max(I). Questo perché a e b appartengono all'intervallo chiuso.

     

    Fai attenzione, definedo un reticolo R abbiamo bisogno soltanto di un poset e della proprietà per cui ogni coppia di elementi {x,y} ammetta inf e sup, non richiediamo che siano max e min.

     

    Definizione 2: Un reticolo R assume struttura algebrica se considerato con due operazioni binarie, chiamiamole V (cup) e Λ (cap), commutative, associative, e con due proprietà più esotiche: 

    devono soddisfare la legge di assorbimento:

    a\vee (a\wedge b)=a

    a\wedge (a\vee b)=a

    e devono essere idempotenti, cioè

    a\vee a=a

    a\wedge a=a

    Queste due operazioni possono essere dedotte dalla sola relazione d'ordine ponendo

    x\leq y

    se e solo se

    x=x\wedge y

    oppure (è la stessa cosa), ponendo

    x\leq y

    se e solo se

    y=x\vee y

    Cosa significa tutto ciò? Semplice che i reticoli (lattice in inglese, se ti capitasse di imbatterti in questa parola), sono enti definibili sia come poset che soddisfano proprietà particolari, sia come enti algebrici universali, cioè attraverso le operazioni che abbiamo appena definito.

    Per quanto riguarda i diagrammi di Hasse, ci permettono di rappresentare gli insiemi finiti e parzialmente ordinati.

    Come si costruiscono? Ogni vertice è un elemento dell'insieme. Fissato un vertice, sia x, tracciamo un segmento verso l'alto che congiunge x con y se x

    Ora non è semplice disegnare dei diagrammi di Hasse comprensibili, infatti esistono infiniti modi per disegnare tale diagramma di un insieme parzialmente ordinato. Un maniera ragionevole di procedere è disegnare il diagramma a partire dagli elementi minimali, per poi procedere nel verso suggerito dall'ordinamento di R.

     

    Non so se questa spiegazione sia sufficiente, ma la domanda era molto generica Giulia, chiedi pure se hai bisogno di informazioni più precise!

    Risposta di Alpha
  • Grazie mille per la spiegazione! :)

    Risposta di Giulialg88
 
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