Risolvere una disequazione logaritmica di secondo grado

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Buongiorno :) ho un esercizio con una disequazione logaritmica di secondo grado che non riesco a risolvere. Mi date una mano per favore? Grazie in anticipo!

 

(log_2(x+5))^2 - log_2(x+5) - 6 > 0.

Domanda di Effy27

 
Soluzioni

  • Ciao Effy27, il tempo di scrivere la risposta. Mentre aspetti, prova a dare un'occhiata alla lezione in cui spieghiamo come risolvere le disequazioni logaritmiche...

    Risposta di Omega

  • Ho già letto tutte la parte delle lezioni riguardante i logaritmi! Io capisco,ma poi mi viene difficile metterlo in pratica! Spesso faccio un solo errore che mi scombina tutta la disequazione!

    Risposta di Effy27

  • La disequazione

    log_(2)^2(x+5)-log_(2)(x+5)-6 > 0

    si risolve per sostituzione. Prima di tutto osserviamo che le condizioni di esistenza impongono che sia

    x > -5.

    Poniamo

    log_(2)(x+5) = y

    quindi l'equazione diventa

    y^2-y-6 > 0

    Ora è sufficiente scomporre il polinomio (per farlo, puoi passare semplicemente all'equazione di secondo grado associata e calcolarne le soluzioni y1,y2. Se ne esiste almeno una, il polinomio potrà essere riscritto nella forma (y-y1)(y-y2) ). Troviamo

    (y-3)(y+2) > 0

    Studiamone il segno separatamente, e troviamo come soluzioni y minore di -2 vel y maggiore maggiore di 3.

    dobbiamo tornare alla forma logaritmica:

    log_(2)(x+5) < -2

    vel

    log_(2)(x+5) > 3

    da cui, semplicemente

    x+5 < (1)/(4)

    vel

    x+5 > 8

    e quindi, confrontando la soluzione con le condizioni di esistenza

    x∈(-5,-(19)/(4)) U (3,+∞)

    Fammi sapere se ci sono problemi...

    Namasté! 

     

     

    Risposta di Omega

  • il risultato è x compreso tra -5 e -19/4  V x maggiore di 3

    Risposta di Effy27

  • Esatto, che poi è lo stesso che ho indicato alla fine della risposta, con la notazione degli intervalli.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Ok grazie! Un piccolo chiarimento: io devo fare  

    log_(2) (x+5) = -2

    log_(2) (x+5) = 3

    E poi? 

    Risposta di Effy27

  • E poi devi semplicemente applicare la definizione di logaritmo: ad esempio

    log_(2)(x+5) = -2

    equivale a

    x+5 = (2)^(-2)

    cioè

    x+5 = (1)/(4)

    cioè

    x = (1)/(4)-5 = -(19)/(4).

    Risposta di Omega

  • Grazie milleeeeeee Laughing

    Risposta di Effy27
 
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