Lunghezza della mediana di un triangolo

Un problema di Geometria Piana assegna le distanze del baricentro di un triangolo dai suoi lati e chiede di trovare le misure delle mediane. Come si risolve?

Siano AN, BL, CM le tre mediane di un triangolo qualunque di vertici A, B, C e sia G il baricentro. Calcola le lunghezze delle tre mediane sapendo che:

 GN = 9,4 cm ; GL = 5,8 cm ; GM = 4,6 cm

Domanda di cifratonda
Soluzione

Come prima cosa disegniamo un triangolo, chiamiamo A,B,C i suoi vertici e tracciamo le mediane AN, BL, CM. Esse sono i segmenti che congiungono ogni vertice del triangolo con il punto medio del lato opposto e si incontrano in un punto G, detto baricentro del triangolo.

Baricentro e mediane triangolo

Dobbiamo determinare le misure delle mediane AN, BL, CM sapendo che:

 GN = 9,4 cm ; GL = 5,8 cm ; GM = 4,6 cm

Una delle proprietà del baricentro di un triangolo stabilisce che il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, di cui quella che contiene il vertice è il doppio dell'altra. Nel nostro caso:

 AG = 2 GN ; BG = 2 GL ; CG = 2 GM

Troviamo allora AG, BG, CG:

 AG = 2 GN = 2×(9,4 cm) = 18,8 cm ; BG = 2 GL = 2×(5,8 cm) = 11,6 cm ; CG = 2 GM = 2×(4,6 cm) = 9,2 cm

Concludiamo calcolando le lunghezze delle tre mediane:

AN è pari alla somma di AG e GN:

 AN = AG+GN = 18,8 cm+9,4 cm = 28,2 cm

BL è la somma di BG e GL:

 BN = BG+GL = 11,6 cm+5,8 cm = 17,4 cm

CM è la somma di CG e GM:

 CM = CG+GM = 9,2 cm+4,6 cm = 13,8 cm

Finito: le tre mediane sono lunghe 28,2 cm, 17,4 cm e 13,8 cm.

Risposta di: Giuseppe Carichino (Galois)
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