Soluzioni
  • Ciao Diddi. :)

    Disegniamoci un trapezio isoscele e riportiamo i dati forniti dal problema

     

    Problema trigonometrico con trapezio isoscele

     

    AB=14, \ \ CD=8, \ \ \frac{DB^2}{AD^2}=\frac{37}{9} \mbox{ da cui } DB^2=\frac{37}{9}AD^2

    Dal momento che HK=CD=8 possiamo ricavare la misura delle proiezioni dei due lati obliqui sulla base maggiore, ossia

    AH=KB=(AB-HK):2=(14-8):2=6:2=3

    Poniamo poi DH=x \mbox{ e } AD=y.

    Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ADH abbiamo

    DH^2=AD^2-AH^2

    da cui, sostituendo i valori noti

    x^2=y^2-9 \to \mbox{ Prima equazione}

    Alla stesso modo applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo DHB possiamo scrivere

    DH^2=DB^2-HB^2

    da cui

    x^2=\frac{37}{9}y^2-121 \to \mbox{ Seconda equazione}

    Mettendo a sistema le due equazioni trovate ricaviamo il valore delle incognite x \mbox{ e } y

    \begin{cases}x^2=y^2-9 \\ x^2=\frac{37}{9}y^2-121 \end{cases}

    Sostituendo la prima relazione nella seconda ricadiamo in un'equazione di secondo grado nell'incognita y

    y^2-9=\frac{37}{9}y^2-121

    Svolgendo dei semplicissimi conti algebrici arriviamo a

    y^2=36 \to y=\pm 6

    Poiché y indica la misura di un segmento prendiamo la sola soluzione positiva, ossia y=6. Sostituendo tale valore nella prima equazione del sistema si ha

    x^2=36-9 \to x^2=27 \to x=\pm 3\sqrt{3}

    Anche in questo caso, considerando la sola soluzione positiva, abbiamo

    DH=x=3\sqrt{3}

    AD=y=3

    Infine, ricorrendo ai teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo, possiamo scrivere

    \tan(\widehat{DAB})=\frac{DH}{AH}=\frac{3\sqrt{3}}{3}

    ossia

    \tan(\widehat{DAB})=\sqrt{3}

    Ricordando i valori delle funzioni goniometriche

    \widehat{DAB}=\widehat{CBA}=\frac{\pi}{3}

    Sapendo ora che la somma degli angoli interni di un trapezio è uguale a 2π (vedi: somma degli angoli interni di un poligono - click) e che anche gli altri due angoli sono uguali, abbiamo che

    \widehat{ADC}=\widehat{DCB}=\left(2\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right):2 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}\pi

    Come puoi vedere abbiamo ottenuto gli stessi risultati riportati dal libro. :)

    Risposta di Galois
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