Soluzioni
  • Ricordiamo che una funzione

    f\ : \ Dom(f)\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}

    è prolungabile con continuità in un punto di accumulazione x_0 se e solo se esistono finiti e coincidono i limiti destro e sinistro

    \lim_{x\to x_0^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_0^{+}}f(x)=\ell

    In tal caso è possibile definire la funzione in x_0, imponendo che f(x_0) sia uguale al valore dei limiti precedenti. In verità, definiamo una nuova funzione \tilde{f}(x) che coincide con f(x) nel dominio di quest'ultima, mentre è uguale ad \ell se x=x_0:

    \tilde{f}(x)=\begin{cases}f(x)&\mbox{se} \ x\in Dom(f)\\ \ell&\mbox{se} \ x=x_0\end{cases}

    Ora che abbiamo a disposizione della definizione, possiamo rispondere al quesito: dobbiamo estendere per continuità la funzione

    f(x)=\frac{\sin(x-1)(e^{x}-1)}{x^2-x}

    Calcoliamone il dominio, imponendo che il denominatore sia differente da 0, ossia, prendendo in esame l'equazione spuria

    x^2-x\ne0

    che risolviamo raccogliendo totalmente il fattore comune x e utilizzando in seguito la legge di annullamento del prodotto

    x(x-1)\ne0\to x\ne0\wedge x\ne 1

    dove \wedge è il simbolo matematico che indica il connettivo logico et.

    Il dominio della funzione è pertanto

    Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R}\ | \ x\ne0\wedge x\ne1\right\}=(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)

    Analizziamo i fattori che definiscono f(x): il numeratore è certamente una funzione continua perché prodotto tra una funzione seno e una funzione esponenziale, notoriamente funzioni continue.

    Osserviamo, inoltre, che il denominatore è continuo perché è una funzione polinomiale. In accordo con l'algebra delle funzioni continue concludiamo che f(x) è continua nel suo dominio.

    A questo punto estendiamo la funzione f(x) nei punti in cui non è definita, partendo dal punto x_0=0. Consideriamo il limite per x\to0

    \lim_{x\to0}\frac{\sin(x-1)(e^{x}-1)}{x^2-x}=

    che presenta una forma indeterminata del tipo \left[\frac{0}{0}\right]. Per risolverla, scomponiamo il denominatore raccogliendo x al denominatore e manipolando algebricamente l'espressione così da agevolare l'uso del limite notevole dell'esponenziale

    =\lim_{x\to0}\frac{\sin(x-1)(e^{x}-1)}{x(x-1)}=\lim_{x\to0}\frac{\sin(x-1)}{x-1}\cdot\frac{e^{x}-1}{x}=\frac{\sin(-1)}{-1}=\sin(1)

    L'ultima uguaglianza è giustificata dalla disparità della funzione seno.

    Poiché il limite esiste ed è finito possiamo estendere con continuità la funzione f(x) ponendo

    f(0)=\sin(1).

     

    Continuiamo l'analisi per il punto x=1, procedendo esattamente allo stesso modo, ma stavolta il limite è per x\to1

    \\ \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{\sin(x-1)(e^{x}-1)}{x^2-x}=\lim_{x\to1}\frac{\sin(x-1)}{x-1}\cdot\frac{e^{x}-1}{x}=e^{1}-1

    dove nell'ultimo passaggio è intervenuto il limite notevole del seno. Dalla finitezza del limite concludiamo che la funzione è prolungabile con continuità anche nel punto 1: è sufficiente definire f(1) come:

    f(1)=e-1

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
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