Funzione che si può estendere per continuità in R

Ricordiamo che una funzione

è prolungabile con continuità in un punto di accumulazione se e solo se esistono finiti e coincidono i limiti destro e sinistro

In tal caso è possibile definire la funzione in , imponendo che sia uguale al valore dei limiti precedenti. In verità, definiamo una nuova funzione che coincide con nel dominio di quest'ultima, mentre è uguale ad se :

Ora che abbiamo a disposizione della definizione, possiamo rispondere al quesito: dobbiamo estendere per continuità la funzione

Calcoliamone il dominio, imponendo che il denominatore sia differente da 0, ossia, prendendo in esame l'equazione spuria

che risolviamo raccogliendo totalmente il fattore comune e utilizzando in seguito la legge di annullamento del prodotto

dove è il simbolo matematico che indica il connettivo logico et.

Il dominio della funzione è pertanto

Analizziamo i fattori che definiscono : il numeratore è certamente una funzione continua perché prodotto tra una funzione seno e una funzione esponenziale, notoriamente funzioni continue.

Osserviamo, inoltre, che il denominatore è continuo perché è una funzione polinomiale. In accordo con l'algebra delle funzioni continue concludiamo che è continua nel suo dominio.

A questo punto estendiamo la funzione nei punti in cui non è definita, partendo dal punto . Consideriamo il limite per

che presenta una forma indeterminata del tipo . Per risolverla, scomponiamo il denominatore raccogliendo al denominatore e manipolando algebricamente l'espressione così da agevolare l'uso del limite notevole dell'esponenziale

L'ultima uguaglianza è giustificata dalla disparità della funzione seno.

Poiché il limite esiste ed è finito possiamo estendere con continuità la funzione ponendo

.

Continuiamo l'analisi per il punto , procedendo esattamente allo stesso modo, ma stavolta il limite è per

dove nell'ultimo passaggio è intervenuto il limite notevole del seno. Dalla finitezza del limite concludiamo che la funzione è prolungabile con continuità anche nel punto 1: è sufficiente definire come:

Fatto!