Esercizio sul teorema di Ruffini con i polinomi monici di Z3

Buongiorno a tutti mi potete suggerire la risoluzione di un esercizio sui polinomi monici di Z3 da risolvere con il teorema di Ruffini?

 

Applicando il teorema di Ruffini  scrivere l'insieme di tutti i polinomi monici di grado 3 a coefficienti in Z3 che ammetano 1 e 2 come radici.

 

So che il teorema di Ruffini dice:

 

in un campo R dati f in R[x] ed a in R, a è radice di f se e solo se il polinomio x-a divide f nell'anello R[x].

 

Non so come svolgere l esercizio però...So che a=1 e a'=2

 

f=(x-1)q+r ma comunque non penso sia giusto. Potreste aiutarmi per favore?

In Uni - Algebra - Domanda di Giulialg88

 
Soluzioni

  • Ciao Giuliag88, sto per risponderti...

    Risposta di Omega

  • Come hai giustamente fatto notare, grazie a Ruffini sappiamo che se z è radice di P(x), risulta che 

    (x-z)|P(x)

    quindi (x-z) compare nella fattorizzazione di P(x). Scriviamo il polinomio nella forma

    P(x)=(x-1)(x-2)(ax-b)

    dovendo essere monico, si vede subito che deve essere a=1.  Quindi non ci resta che svolgere il prodotto:

    P(x)=(x^2-3x+2)(x-b)=(x^2+2)(x-b)=x^3-bx^2+2x-2b

    ora sostituisci

    b=0,1,2.

    Così facendo, trovi i polinomi cercati.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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