Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di determinare il perimetro e l'area del triangolo di vertici

    \\ \bullet \ \ \ A(x_A,y_A)=(-2,8;-7,8)\\ \\ \bullet \ \ \ B(x_B,y_B)=(-5,4; 9)\\ \\ \bullet \ \ \ C(x_{C},y_{C})=(10; 1,8)

    Per risolvere il problema bisogna innanzitutto calcolare la lunghezza dei lati AB,BC\ \mbox{e} \ AC usando la formula della distanza tra due punti.

    La lunghezza del lato AB è:

    \\ \overline{AB}=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^2+(y_{A}-y_{B})^2}= \\ \\ =\sqrt{(-2,8-(-5,4))^2+(-7,8-9)^2}=\\ \\ =\sqrt{289}=17

    La lunghezza del lato BC è

    \\ \overline{BC}=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^2+(y_{B}-y_{C})^2}= \\ \\ =\sqrt{(-5,4-10)^2+(9-1,8)^2}=\\ \\ =\sqrt{289}=17

    mentre la lunghezza del lato AC è

    \\ \overline{AC}=\sqrt{(x_{A}-x_{C})^2+(y_{A}-y_{C})^2}=\\ \\ =\sqrt{(-2,8-10)^2+(-7,8-1,8)^2}=\\ \\ =\sqrt{256}=16

    Le lunghezze dei tre lati sono sufficienti per calcolare il perimetro del triangolo

    \\ 2p=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}=\\ \\ =17+17+16=50

    Per quanto concerne l'area del triangolo abbiamo bisogno della lunghezza di una delle tre altezze. Notiamo però che il lato AB ha la stessa lunghezza del lato BC.

    Quello che stiamo esaminando è perciò un triangolo isoscele ed è caratterizzato dal fatto che il piede H dell'altezza relativa al lato AC è il punto medio del segmento AC.

    Di conseguenza, le coordinate di H si ricavano con le seguenti formule:

    \\ x_{H}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-2,8+10}{2}=3,6 \\ \\ \\ y_{H}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{-7,8+1,8}{2}=-3

    Ora che conosciamo le coordinate di H siamo in grado di calcolare la lunghezza dell'altezza relativa alla base AC, vale a dire la lunghezza del segmento di estremi B\ \mbox{e} \ H

    \\ \overline{BH}=\sqrt{(x_{B}-x_{H})^2+(y_{B}-y_{H})^2}= \\ \\ =\sqrt{(-5,4-3,6)^2+(9-(-3))^2}=\\ \\ =\sqrt{6561}=81

    Abbiamo finalmente tutti gli elementi per calcolare l'area del triangolo: basta dividere per due il prodotto tra la lunghezza della base AC e quella dell'altezza BH

    \mbox{Area}=\frac{\overline{AC}\cdot\overline{BH}}{2}=\frac{16\cdot 81}{2}=648

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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