Ciao ely,la funzione che ci proponi è una parabola, il problema è che non è una funzione iniettiva, come puoi leggere nelle lezioni riguardanti l'iniettività, la suriettività e la funzione inversa, non è possibile invertire una funzione che non sia biunivoca.
Non disperare, possiamo rendere questa funzione iniettiva considerandone solo una parte, iniziamo a capire come è fatta: il vertice della parabola (click per le formule) si calcola come
V=(-b/2a, -Δ/4a)=(1,-4)
Il coefficiente direttore (quello del termine di grado massimo, in questo caso x2 ) è positivo, dunque la concavità è verso l'alto. Ponendo y=0 troverai le intersezioni della parabola con l'asse x:
x2-8x=0
4x(x-2)=0
x 1 =0 , x 2 = 2
Ora per rendere iniettiva la funzione che definisce la parabola dobbiamo considerarne un solo ramo, cioè dobbiamo limitarci a invertire, ad esempio, la parte della parabola che sta a destra del vertice.
Quindi cerchiamo l'inversa delle funzione y=4x2 -8x nell'intervallo [1,+∞).
Ora cerchiamo di invertire la funzione: osserviamo che 4x 2 -8x è quasi il quadrato di un binomio, per renderlo tale è sufficiente sommare e sottrarre 4:
4x2 -8x = 4x2 -8x+4 - 4 = (2x-2)2 -4
(il trucco di sommare e sottrarre quantità identiche è molto usato in analisi!)
Sostituiamo nella nostra funzione:
y=4x2 -8x
y= (2x-2)2 -4
y+4 = (2x-2)2
Raccogliamo un due dal membro di destra dell'uguaglianza, che risulterà elevato al quadrato:
y+4 = 22 (x-1)2
(y+4)/4=(x-1)2
Se possiamo estrarre la radice siamo arrivati, ma questo è possibile proprio perché x-1, considerando la funzione sull'intervallo [1,+∞), è sempre positivo, o al più nullo, quindi otteniamo
x+1=radiceQuadrata[(y+4)/4]
cioè
x=radiceQuadrata[(y+4)/4]-1
Spero di esserti stato utile, per qualunque cosa scrivici ancora!
Alpha
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