Calcolare la funzione inversa di y=4x^2-8x

Ciao ely,la funzione che ci proponi è una parabola, il problema è che non è una funzione iniettiva, come puoi leggere nelle lezioni riguardanti l'iniettività, la suriettività e la funzione inversa, non è possibile invertire una funzione che non sia biunivoca.

Non disperare, possiamo rendere questa funzione iniettiva considerandone solo una parte, iniziamo a capire come è fatta: il vertice della parabola (click per le formule) si calcola come

V=(-b/2a, -Δ/4a)=(1,-4)

Il coefficiente direttore (quello del termine di grado massimo, in questo caso x² ) è positivo, dunque la concavità è verso l'alto. Ponendo y=0 troverai le intersezioni della parabola con l'asse x:

x²-8x=0

4x(x-2)=0

x ₁ =0 , x ₂ = 2

Ora per rendere iniettiva la funzione che definisce la parabola dobbiamo considerarne un solo ramo, cioè dobbiamo limitarci a invertire, ad esempio, la parte della parabola che sta a destra del vertice.

Quindi cerchiamo l'inversa delle funzione y=4x² -8x nell'intervallo [1,+∞).

Ora cerchiamo di invertire la funzione: osserviamo che 4x ² -8x è quasi il quadrato di un binomio, per renderlo tale è sufficiente sommare e sottrarre 4:

4x² -8x = 4x² -8x+4 - 4 = (2x-2)² -4

(il trucco di sommare e sottrarre quantità identiche è molto usato in analisi!)

Sostituiamo nella nostra funzione:

y=4x² -8x

y= (2x-2)² -4

y+4 = (2x-2)²

Raccogliamo un due dal membro di destra dell'uguaglianza, che risulterà elevato al quadrato:

y+4 = 2² (x-1)²

(y+4)/4=(x-1)²

Se possiamo estrarre la radice siamo arrivati, ma questo è possibile proprio perché x-1, considerando la funzione sull'intervallo [1,+∞), è sempre positivo, o al più nullo, quindi otteniamo

x+1=radiceQuadrata[(y+4)/4]

cioè

x=radiceQuadrata[(y+4)/4]-1

Spero di esserti stato utile, per qualunque cosa scrivici ancora!

Alpha