Soluzioni
  • Ciao ely,la funzione che ci proponi è una parabola, il problema è che non è una funzione iniettiva, come puoi leggere nelle lezioni riguardanti l'iniettività, la suriettività e la funzione inversa, non è possibile invertire una funzione che non sia biunivoca.

    Non disperare, possiamo rendere questa funzione iniettiva considerandone solo una parte, iniziamo a capire come è fatta: il vertice della parabola (click per le formule) si calcola come

     

    V=(-b/2a, -Δ/4a)=(1,-4)

     

    Il coefficiente direttore (quello del termine di grado massimo, in questo caso x2 ) è positivo, dunque la concavità è verso l'alto. Ponendo y=0 troverai le intersezioni della parabola con l'asse x:

     

    x2-8x=0

     

    4x(x-2)=0

     

    1 =0 , x 2 = 2

     

    Ora per rendere iniettiva la funzione che definisce la parabola dobbiamo considerarne un solo ramo, cioè dobbiamo limitarci a invertire, ad esempio, la parte della parabola che sta a destra del vertice.

     

    Quindi cerchiamo l'inversa delle funzione y=4x2 -8x nell'intervallo [1,+∞).

     

    Ora cerchiamo di invertire la funzione: osserviamo che 4x 2 -8x è quasi il quadrato di un binomio, per renderlo tale è sufficiente sommare e sottrarre 4:

     

    4x2 -8x = 4x2 -8x+4 - 4 = (2x-2)2 -4

     

    (il trucco di sommare e sottrarre quantità identiche è molto usato in analisi!)

    Sostituiamo nella nostra funzione:

     

    y=4x2 -8x

     

    y= (2x-2)2 -4

     

    y+4 = (2x-2)2

     

    Raccogliamo un due dal membro di destra dell'uguaglianza, che risulterà elevato al quadrato:

     

    y+4 = 22 (x-1)2

     

    (y+4)/4=(x-1)2

     

    Se possiamo estrarre la radice siamo arrivati, ma questo è possibile proprio perché x-1, considerando la funzione sull'intervallo [1,+∞), è sempre positivo, o al più nullo, quindi otteniamo

     

    x+1=radiceQuadrata[(y+4)/4]

     

    cioè

     

    x=radiceQuadrata[(y+4)/4]-1

     

    Spero di esserti stato utile, per qualunque cosa scrivici ancora!

     

    Alpha

    Risposta di Alpha
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