Soluzioni
  • Per calcolare l'integrale indefinito

    \int\frac{1}{2x^3-3x^2+x}\,dx

    ci avvarremo della regola dei fratti semplici, che prevede di esprimere l'integranda nella somma di frazioni algebriche più semplici da integrare.

    Il primo passo consiste nello scomporre il polinomio al denominatore

    2x^3-3x^2+x=

    Raccogliamo totalmente x

    =x(2x^2-3x+1)=

    dopodiché fattorizziamo il polinomio di secondo grado trattandolo come un trinomio speciale

    =x(2x-1)(x-1)

    In accordo con il metodo dei fratti semplici, dobbiamo determinare tre costanti reali A,\, B,\, C tali che

    \frac{A}{x}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{x-1}=\frac{1}{x(2x-1)(x-1)}

    A tal proposito scriviamo a denominatore comune il primo membro

    \frac{A-3Ax-Bx-Cx+2Ax^2+Bx^2+2Cx^2}{x(2x-1)(x-1)}=\frac{1}{x(2x-1)(x-1)}

    cancelliamo i denominatori membro a membro

    A-3Ax-Bx-Cx+2Ax^2+Bx^2+2Cx^2=1

    e raccogliamo secondo le potenze di x

    (2A+B+2C)x^2+(-3A-B-C)x+A=1

    Per il principio di identità dei polinomi, due polinomi ridotti in forma normale sono identici se e solo se i coefficienti dei monomi dello stesso grado coincidono. Questa semplice regola ci permette di costruire il seguente sistema lineare nelle incognite A,\, B,\, C

    \begin{cases}2A+B+2C=0\\ -3A-B-C=0\\ A=1\end{cases}

    Procedendo con il metodo di sostituzione scopriamo che A=1, \ B=-4,\ C=1, pertanto

    \frac{A}{x}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{x-1}=\frac{1}{x(2x-1)(x-1)}

    diventa

    \frac{1}{x}-\frac{4}{2x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x(2x-1)(x-1)}

    Perfetto! Siamo in grado di risolvere l'integrale

    \int\frac{1}{2x^3-3x^2+x}\,dx=

    che grazie ai fratti semplici diventa

    =\int\left[\frac{1}{x}-\frac{4}{2x-1}+\frac{1}{x-1}\right]\,dx=

    Sfruttiamo la linearità dell'integrale per spezzare l'integrale della somma (algebrica) nella somma (algebrica) degli integrali

    =\int\frac{1}{x}\,dx-4\int\frac{1}{2x-1}\,dx +\int\frac{1}{x-1}\,dx=(\bullet)

    Ciascuno di essi si risolve riconducendolo all'integrale fondamentale

    \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx =\ln(|f(x)|)+c

    Il primo e il terzo integrale si presentano esattamente nella forma richiesta dalla formula, mentre il secondo richiede un piccolo trucco algebrico: basta moltiplicare e dividerlo per 2 per far sì che tutto funzioni a dovere

    \\ (\bullet)=\ln(|x|)-\frac{4}{2}\int\frac{2}{2x-1}+\ln(|x-1|)= \\ \\ \\ =\ln(|x|)-2\ln(|2x-1|)+\ln(|x-1|)+c

    con c\in\mathbb{R}.

    È fatta.

    Risposta di Ifrit
 
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