Soluzioni
  • Eccomi, ciao Effy37, tra un po' avrai lo svolgimento

    Risposta di Ifrit
  • Ok! Partiamo:

    (\log_{\frac{1}{2}} x)^2+\log_{\frac{1}{2}}x -2>0

    Innanzitutto dobbiamo calcolare il campo di esistenza, cioè i valori per i quali ha senso considerare la disequazione. Dobbiamo quindi imporre la condizione d'esistenza del logaritmo:

    C.E.= x>0

    Bene! Fatto ciò poniamo

    t=\log_{\frac{1}{2}}(x)

    In questo modo la disequazione di partenza diventa:

    t^2+t-2>0

    Che non è altro che una disequazione di secondo grado completa, nella lezione del link troverai la lezione dedicata a questo tipo di disequazioni:

    Per risolverla, consideriamo l'equazione associata:

    t^2+t-2=0

    il cui discriminante è:

    \Delta= 1+8=9>0\implies \sqrt{\Delta}= 3

    Il discriminante è maggiore di zero, quindi l'equazione associata ammette due soluzioni reali e distinte:

    t_1= \frac{-1-3}{2}=-2\quad\quad t_2=\frac{-1+3}{2}=1

    Siamo di fronte al caso in cui il coefficiente direttore (cioè il coefficiente del termine t^2) è positivo e il discriminante maggiore di zero, di conseguenza, l'insieme soluzione della disequazione è: t minore di -2 vel t maggiore di 1.

     

    A questo punto, ricordandoci che t= \log_{\frac{1}{2}}x, è sufficiente risolvere le disequazioni:

    \log_{\frac{1}{2}} x<-2

    e

    \log_{\frac{1}{2}}>1

    Partiamo con la prima:

    \log_{\frac{1}{2}}x>\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}= 4

    Per la seconda invece:

    \log_{\frac{1}{2}}x>1\implies x< \frac{1}{2}

    Per la risoluzione delle disequazioni logaritmiche ti rimando qui: disequazioni logaritmiche.

    Ricordiamo ora che il campo di esistenza ci impone che x>0, dunque la soluzione della disequazione logaritmica è:

    x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)\cup\left(4,+\infty)

    Ti trovi con i risultati?

     

    Risposta di Ifrit
  • Ma il campo di esistenza non è x>2 ?????!

    E poi ho delle altre domande:

    Non ho capito cos'è il discriminante e a cosa serve... e poi da dopo aver aplicato la formula quella -b +o- ecc.. non ho capito più nulla!
    Cioè non so dovrebbe fare
    log in base 1/2 x = 1 e log in base 1/2 in base -2??? 

    Risposta di Effy27
  • E sì che Ifrit ti ha chiesto di controllare se il testo della disequazione fosse corretto...

    Risposta di Omega
  • Scusami se non ho risposto prima, ma mi sono perso le tue domande...e ringrazio Omega per essere intervenuto.

    Il problema di fondo è che senza parentesi che delimitano l'argomento del logaritmo, la disequazione è soggetta a intepretazioni. Per favore utilizza le parentesi per delimitare l'argomento. Se conosci le soluzioni dell'esercizio, scrivile, mi aiuterà a capire qual è la disequazione di partenza.

    Perdonami, se non sono stato chiaro, tenterò di migliorare.

    Risposta di Ifrit
  • Va benissimo così Ifrit, e non devi ringraziarmi se sono intervenuto, ho solo fatto le tue veci. Il punto è che siamo sì a disposizione, ma starebbe al buon cuore degli utenti capire che basta veramente poco per metterci in condizione di aiutarli: un briciolo di attenzione in più.

    Una grande convenienza per loro.

    Né tantomeno devi scusarti. Tu hai risolto la disequazione che ti era stata chiesta. Hai chiesto conferma (al limite dell'eccesso di zelo Laughing). Hai risolto correttamente il problema. Avresti anche potuto non ricontrollare (doppio eccesso di zelo LaughingLaughing).

    Non vedo il problema. Wink

    Risposta di Omega
  • Neanche io vedo il problema,faccio fatica a seguirti. Il testo è giusto come l'ha scritto il signor Ifrit la seconda volta. Cioè quando poi a svolto l'esercizio..

    Risposta di Effy27
  • x compreso tra o e 1/2 v x maggiore di 4

    Risposta di Effy27
  • "Ma il campo di esistenza non è x>2 ?????!"

    Allora se il secondo logaritmo ha argomento solamente x, come potrebbe mai essere "x maggiore di 2" il dominio?

    Risposta di Omega
  • :O 
    Chiedo umilmente scusa,ma sono una che non capisce niente di matematica. Pardon! 

    Risposta di Effy27
  • Era solo un banale fraintendimento. Nessun problema, il fatto è che quella tua domanda così convinta sul dominio del logaritmo (x maggiore di 2) lasciava supporre che l'argomento del secondo logaritmo fosse (x-2) e non la sola x...

    Risposta di Omega
  • No no scusate,l'argomento è solo la x!
    Penso di aver sbagliato tutti gli esercizi che ho fatto prima di questo.. è molto molto deprimente T.T

    Risposta di Effy27
  • il risultato non è zero, ma 0

    x\in(0, 1/2)\cup (4, +\infty)

    Da questo deduco che l'intepretazione della traccia è corretta, siamo contenti!! :D A questo punto, è necessario capire ciò che non ti è chiaro nel procedimento.

    Intanto rispondo alle domande che hai posto:

    Il discriminante è il \Delta associato ad una equazione di secondo grado.

    Data l'equazione di secondo grado completa:

    ax^2+bx+c=0

    con a\ne 0, si definisce discriminante, o barbaramente "delta", il numero:

    \Delta= b^2-4a c

    Grazie ad esso è possibile "discriminare" le soluzioni della equazione.

    "Perché il dominio non è x>2?"

    In questo caso il pezzo che mi ha inizialmente mandato in confunsione è:

    \log_{\frac{1}{2}} x-2

    Perché, senza le parentesi che delimitano l'argomento, vuol dire che l'argomento del logaritmo è solo l'incognita x. Di conseguenza il dominio deve essere x>0.

    Nel caso in cui avessimo avuto invece:

    \log_{\frac{1}{2}}(x-2)

    il dominio sarebbe cambiato perché appunto l'argomento è x-2, conseguentemente:

    x-2>0

    da cui  x>2.

    Fin qui ci sei?

    Risposta di Ifrit
  • Nel qual caso qui è tutto corretto. Laughing

    Risposta di Omega
  • Perfetto grazie mille!

    Risposta di Effy27
 
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