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    In uno spazio vettoriale, qualsiasi insieme di vettori può essere considerato un sistema di generatori?

    Assolutamente no. Ad esempio il vettore

    (0,0,1)\in\mathbb{R}^3

    non genera assolutamente R3!

    Leggi qui: sistemi di generatori.

    Lo span generato da 3 vettori (v1,v2,v3) linearmente indipendenti e quello generato dall'insieme degli stessi vettori più un quarto che rende l'insieme lin. dipendente (v1,v2,v3,v4) è lo stesso? Cioè i due sottospazi generati coincidono? Perchè?

    Dunque, tutto dipende dalla dimensione dello spazio in cui ragioni. Se sei in uno spazio di dimensione 3 allora necessariamente l'insieme di 4 vettori è linearmente dipendente (la dimensione di uno spazio vettoriale è infatti il massimo numero di elementi linearmente indipendenti che puoi prendere nello spazio). Lo spazio che generano i due sistemi è...tutto lo spazio! Questo perchè l'insieme di 3 vettori è una base - sotto queste ipotesi - e l'insieme di 4 vettori contiene la base: è linearmente dipendente e non genera nulla di più di quanto non generi la base.

    In uno spazio di dimensione maggiore di 3, l'insieme di 3 vettori non può essere una base, mentre se aggiungi un vettore che rende l'insieme linearmente dipendente allora tale vettore può essere scritto come combinazione lineare degli altri 3, quindi appartiene al sottospazio generato dagli altri 3, quindi...l'insieme dei 4 vettori genera lo stesso sottospazio che generano i primi 3 vettori.

    Per dimostrare che W è un sottospazio vettoriale basta dimostrare che esista la somma e il prodotto per scalare? Come dimostrare che ad esempio W è proprio il sottospazio di V?

    Più che "esista", devi provare che il sottospazio è un insieme chiuso per somma di sui elementi e per moltiplicazione per uno scalare. Cioè che

    \mbox{[chiusura per somma] }\forall v,w\in W\mbox{ risulta }v+w\in W

    \mbox{[chiusura per prod. per uno scalare] }\forall w\in W\mbox{, }\forall \alpha\in \mathbb{K}\mbox{ risulta }\alpha w\in W

    (dove ho supposto che V sia uno spazio vettoriale su un campo K)

    Inoltre: occhio che non è "il" sottospazio, ma "un" sottospazio. Di sottospazi in uno spazio vettoriale ce ne sono diversi. Quanti? Dipende dallo spazio vettoriale!

     Dai un'occhiata qui: sottospazio vettoriale.

    Namasté

    Risposta di Omega
  • Per quanto riguarda la prima domanda, (0,0,1) ϵ R3 non genera R3 ma può generare un sottospazio di R3 . E quindi non può essere considerato un sistema di generatori? (Misà che mi sfugge la definizione di sistema di generatori)

    Infine una curiosità sull'ultima domanda: se non esiste la somma e il prodotto per scalare non può essere considerato uno spazio vettoriale giusto? Quindi cos'è? Cioè un esempio in cui non esiste la somma o il prodotto per scalare quale potrebbe essere?

    Risposta di xavier310
  • Per quanto riguarda la prima domanda, il misunderstanding si basa tutto sulla specifica 

    essere un sistema di generatori

    e

    essere un sistema di generatori dello spazio vettoriale

    e

    essere un sistema di generatori di un sottospazio

    Perché? Perchè qualsiasi insieme di vettori può essere preso come sistema di generatori, questo sì. Sarà semplicemente il sistema di generatori del sottospazio che l'insieme stesso genera (e siamo al limite della tautologia). Non ci sono problemi in tal caso!

    La mia risposta precedente faceva riferimento al "essere un sistema di generatori dello spazio vettoriale".

    No, a parte questo reciproco fraintendimento mi pare che tu abbia colto la definizione di sistema di generatori. :)

    Per quanto riguarda la tua curiosità, è nella stessa definizione di spazio vettoriale che è richiesta la presenza di un'operazione di somma e di prodotto per uno scalare di cui l'insieme deve essere dotato, tra le altre cose, per potersi chiamare "spazio vettoriale".

    D'altra parte esiste una marea di strutture algebriche che richiedono proprietà meno restrittive (ad esempio avere un'operazione associativa, qualunque essa sia, e niente altro). Le vie dell'algebra sono infinite...dato che ti vedo molto interessato, te la butto lì: che ne dici di aprire una discussione nel Forum in cui parlare - a livello di curiosità e non troppo tecnico - di questo aspetto? Potrebbe uscirne una discussione veramente interessante...Laughing

    Namasté! 

    Risposta di Omega
  • Vorrei avere più elementi e capire meglio altre cose prima di affrontare questa e tante altre discussioni interessanti :) comunque è affascinante questa parte della geometria e dell'algebra lineare; come ti sarai accorto sono partito veramente da zero, e pian piano sto cercando, e devo dire che ci sto riuscendo, a unire sempre più tasselli e ad avere una visione sempre più ampia :) comunque ci sarà occasione di aprire tanti dibattiti interessanti sul forum in futuro anche perchè oramai sono online su questo sito ogni giorno Tongue

    Risposta di xavier310
  • Ne siamo felici: vuol dire che YouMath funziona! Laughing

    Risposta di Omega
 
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