esercizio su inverso e stabilità di un monoide

Detto (ZxZ6,°) monoide commutativo unitario(che significa unitario?) si determini l inverso di (0,5) (il 5 col trattino sopra),facendo uso di un'opportuna eq.congruenziale e dire se la parte 3Zx{4}  (il 4 segnato) è parte chiusa di (ZxZ6,°).

 

In Uni - Algebra - Domanda di Giulialg88

 
Soluzioni

  • Ciao Giulialg88, come è definita l'operazione che indichi con ° ?

     

    3Zx{4} è un cartesiano? Puoi definire parte chiusa di un monoide?

     

    Grazie!

    Risposta di Alpha

  • scusami,hai ragioneee

    (a,b)°(c,d)=(a+c+3ac,bd)      ( b e d segnati)

    3Zx{4} è un cartesiano  

    (C inclusione larga,col trattino sotto)

    preso (S,°) XCS è parte stabile ↔ per ogni a,b€X a°b €X

    Risposta di Giulialg88

  • Frown   ???

    Risposta di Giulialg88

  • Arrivo Giulia, non ti preoccupare, solo un attimo di pazienza!

    Risposta di Alpha

  • Iniziamo dalla prima parte del tuo esercizio:

    dobbiamo trovare l'inverso in

     

    \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_6

     

    dell'elemento (0,5).

     

    Per come è definita l'operazione °, questo equivale a trovare l'elemento

     

    (a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_6

     

    tale che

     

    (a,b)^{\circ}(0,\bar{5})

     

    sia uguale all'elemento neutro per l'operazione °. Qual è questo elemento? Per trovarlo dobbiamo chiederci quale sia quell'elemento (x,y) tale che

     

    (a,\bar{b})^{\circ}(x,\bar{y})=(a,\bar{b})

     

    cioè

     

    \left\{\begin{matrix}a+x+3ax=a\\\bar{b}\bar{y}=\bar{b}\end{matrix}

     

    La prima, si verifica quando x=0, mentre la seconda, sfruttando la proprietà del prodotto tra classi di resto per cui

     

    \bar{b}\bar{y}=\bar{by}

     

    ci dice che y=1 (in Z6).

     

    Ora che abbiamo trovato l'elemento neutro possiamo trovare l'inverso di (0,5), cioè quell'elemento (a,b) in Z x Z6 tale che

     

    (0+a+0, \bar{5}\bar{b})=(0,\bar{1})

     

    risolvere questa operazione vettorialemente può creare confusione, ma come abbiamo fatto prima per l'elemento neutro, equivale a risolvere il seguente sistema:

     

    \left\{\begin{matrix}a=0\\ \bar{5}\bar{b}=1\end{matrix}

     

    Quindi la prima equazione è già risolta, la seconda si può scrivere come un'equazione congruenziale:

     

    5b=1\mbox{ mod }(6)

     

    Quindi b=5.

     

    Abbiamo così trovato l'inverso di (0,5).

    Risposta di Alpha

  • Spero che la prima parte sia chiara...volevo aspettare che mi dicessi di aver capito tutto prima di procedere, ma continuo con l'esercizio. Dire se 3Zx{4} è stabile in (ZxZ6,°), come hai ben detto tu, significa provare che è chiuso rispetto all'operazione °. Cioè presi due elementi di 3Zx{4}, siano α, β, dobbiamo provare che α°β appartiene ancora a 3Zx{4}. Per farlo esprimiamo i due elementi come segue

     

    \alpha=(3a, \bar{b})\mbox{ e }\beta=(3c,\bar{d})

     

    calcoliamo

     

    \alpha^{\circ}\beta=(3a, \bar{b})^{\circ}(3c,\bar{d})=

     

    =(3a+3c+27ac,\bar{b}\bar{d})=

     

    (3(a+c+9ac),\bar{bd})

     

    Ora, sappiamo che a e b appartengono a Z, quindi a+c+9ac è ancora un elemento di Z, poiché è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione. In particolare 3(a+b+9ab) appartiene a 3Z. L'ultimo passo sta nel capire se dati due elementi appartenenti alla classe {4}, il loro prodotto sta ancora in tale classe...basta usare la proprietà di cui abbiamo parlato nel punto precedente!

    Risposta di Alpha

  • della prima parte non ho capito l' equazione congruenziale,so che per risolverla devo considerare:

    5b-1=6n   cioè devo trovare un valore di b tale che moltiplicato per 5 e sottratto uno mi dia un multiplo di 6.

    ma b non appartiene a Z6? i valori di b non devono essere compresi tra 0 e 5?

    io avrei detto che il risultato era 5 ,anche perchè 25:6 da resto 1 ma questo significa che l inverso di (0,5) è inverso di se stesso...

    2) della seconda parte volevo sapere:

    la classe di 4 sono tutti quei numeri che divisi per uno stesso numero mi danno resto 4,giusto? che numero devo considerare?

    Risposta di Giulialg88

  • Ops...hai ragione tu..ma 11 mod6=5! Comunque ho corretto,effettivamente si capisce molto meglio scrivendo il più piccolo valore possibile! Grazie di aver controllato bene! Per la seconda parte sei sempre in Z6 !

    Risposta di Alpha

  • Laughing

    la seconda parte:

    la classe di 4 è costituta da{10,16,22,.......etcetc}

    prendo 10 e 16-----> b=10 e d=16

    devo dimostrare che bd=4(mod 6)

    160:6 da resto 4,allora 3Zx{4} è una parte stabile

    giusto?

    Risposta di Giulialg88

  • Nel nome di Alpha: corretto!

    Risposta di Omega
 
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