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Ciao Giulialg88, come è definita l'operazione che indichi con ° ?
3Zx{4} è un cartesiano? Puoi definire parte chiusa di un monoide?
Grazie!
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scusami,hai ragioneee
(a,b)°(c,d)=(a+c+3ac,bd) ( b e d segnati)
3Zx{4} è un cartesiano
(C inclusione larga,col trattino sotto)
preso (S,°) XCS è parte stabile ↔ per ogni a,b€X a°b €X
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??? -
Arrivo Giulia, non ti preoccupare, solo un attimo di pazienza!
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Iniziamo dalla prima parte del tuo esercizio:
dobbiamo trovare l'inverso in
dell'elemento (0,5).
Per come è definita l'operazione °, questo equivale a trovare l'elemento
tale che
sia uguale all'elemento neutro per l'operazione °. Qual è questo elemento? Per trovarlo dobbiamo chiederci quale sia quell'elemento (x,y) tale che
cioè
La prima, si verifica quando x=0, mentre la seconda, sfruttando la proprietà del prodotto tra classi di resto per cui
ci dice che y=1 (in Z6).
Ora che abbiamo trovato l'elemento neutro possiamo trovare l'inverso di (0,5), cioè quell'elemento (a,b) in Z x Z6 tale che
risolvere questa operazione vettorialemente può creare confusione, ma come abbiamo fatto prima per l'elemento neutro, equivale a risolvere il seguente sistema:
Quindi la prima equazione è già risolta, la seconda si può scrivere come un'equazione congruenziale:
Quindi b=5.
Abbiamo così trovato l'inverso di (0,5).
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Spero che la prima parte sia chiara...volevo aspettare che mi dicessi di aver capito tutto prima di procedere, ma continuo con l'esercizio. Dire se 3Zx{4} è stabile in (ZxZ6,°), come hai ben detto tu, significa provare che è chiuso rispetto all'operazione °. Cioè presi due elementi di 3Zx{4}, siano α, β, dobbiamo provare che α°β appartiene ancora a 3Zx{4}. Per farlo esprimiamo i due elementi come segue
calcoliamo
Ora, sappiamo che a e b appartengono a Z, quindi a+c+9ac è ancora un elemento di Z, poiché è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione. In particolare 3(a+b+9ab) appartiene a 3Z. L'ultimo passo sta nel capire se dati due elementi appartenenti alla classe {4}, il loro prodotto sta ancora in tale classe...basta usare la proprietà di cui abbiamo parlato nel punto precedente!
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della prima parte non ho capito l' equazione congruenziale,so che per risolverla devo considerare:
5b-1=6n cioè devo trovare un valore di b tale che moltiplicato per 5 e sottratto uno mi dia un multiplo di 6.
ma b non appartiene a Z6? i valori di b non devono essere compresi tra 0 e 5?
io avrei detto che il risultato era 5 ,anche perchè 25:6 da resto 1 ma questo significa che l inverso di (0,5) è inverso di se stesso...
2) della seconda parte volevo sapere:
la classe di 4 sono tutti quei numeri che divisi per uno stesso numero mi danno resto 4,giusto? che numero devo considerare?
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Ops...hai ragione tu..ma 11 mod6=5! Comunque ho corretto,effettivamente si capisce molto meglio scrivendo il più piccolo valore possibile! Grazie di aver controllato bene! Per la seconda parte sei sempre in Z6 !
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la seconda parte:
la classe di 4 è costituta da{10,16,22,.......etcetc}
prendo 10 e 16-----> b=10 e d=16
devo dimostrare che bd=4(mod 6)
160:6 da resto 4,allora 3Zx{4} è una parte stabile
giusto?
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Nel nome di Alpha: corretto!
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