esercizio su inverso e stabilità di un monoide

Ciao Giulialg88, come è definita l'operazione che indichi con ° ?

3Zx{4} è un cartesiano? Puoi definire parte chiusa di un monoide?

Grazie!

scusami,hai ragioneee

(a,b)°(c,d)=(a+c+3ac,bd)      ( b e d segnati)

3Zx{4} è un cartesiano  

(C inclusione larga,col trattino sotto)

preso (S,°) XCS è parte stabile ↔ per ogni a,b€X a°b €X

   ???

Arrivo Giulia, non ti preoccupare, solo un attimo di pazienza!

Iniziamo dalla prima parte del tuo esercizio:

dobbiamo trovare l'inverso in

dell'elemento (0,5).

Per come è definita l'operazione °, questo equivale a trovare l'elemento

tale che

sia uguale all'elemento neutro per l'operazione °. Qual è questo elemento? Per trovarlo dobbiamo chiederci quale sia quell'elemento (x,y) tale che

cioè

La prima, si verifica quando x=0, mentre la seconda, sfruttando la proprietà del prodotto tra classi di resto per cui

ci dice che y=1 (in Z₆).

Ora che abbiamo trovato l'elemento neutro possiamo trovare l'inverso di (0,5), cioè quell'elemento (a,b) in Z x Z₆ tale che

risolvere questa operazione vettorialemente può creare confusione, ma come abbiamo fatto prima per l'elemento neutro, equivale a risolvere il seguente sistema:

Quindi la prima equazione è già risolta, la seconda si può scrivere come un'equazione congruenziale:

Quindi b=5.

Abbiamo così trovato l'inverso di (0,5).

Spero che la prima parte sia chiara...volevo aspettare che mi dicessi di aver capito tutto prima di procedere, ma continuo con l'esercizio. Dire se 3Zx{4} è stabile in (ZxZ₆,°), come hai ben detto tu, significa provare che è chiuso rispetto all'operazione °. Cioè presi due elementi di 3Zx{4}, siano α, β, dobbiamo provare che α°β appartiene ancora a 3Zx{4}. Per farlo esprimiamo i due elementi come segue

calcoliamo

Ora, sappiamo che a e b appartengono a Z, quindi a+c+9ac è ancora un elemento di Z, poiché è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione. In particolare 3(a+b+9ab) appartiene a 3Z. L'ultimo passo sta nel capire se dati due elementi appartenenti alla classe {4}, il loro prodotto sta ancora in tale classe...basta usare la proprietà di cui abbiamo parlato nel punto precedente!

della prima parte non ho capito l' equazione congruenziale,so che per risolverla devo considerare:

5b-1=6n   cioè devo trovare un valore di b tale che moltiplicato per 5 e sottratto uno mi dia un multiplo di 6.

ma b non appartiene a Z₆? i valori di b non devono essere compresi tra 0 e 5?

io avrei detto che il risultato era 5 ,anche perchè 25:6 da resto 1 ma questo significa che l inverso di (0,5) è inverso di se stesso...

2) della seconda parte volevo sapere:

la classe di 4 sono tutti quei numeri che divisi per uno stesso numero mi danno resto 4,giusto? che numero devo considerare?

Ops...hai ragione tu..ma 11 mod6=5! Comunque ho corretto,effettivamente si capisce molto meglio scrivendo il più piccolo valore possibile! Grazie di aver controllato bene! Per la seconda parte sei sempre in Z₆ !

la seconda parte:

la classe di 4 è costituta da{10,16,22,.......etcetc}

prendo 10 e 16-----> b=10 e d=16

devo dimostrare che bd=4(mod 6)

160:6 da resto 4,allora 3Zx{4} è una parte stabile

giusto?

Nel nome di Alpha: corretto!