Domande su nucleo e immagine nelle applicazioni lineari

Un'applicazione tra due spazi ha delle immagini, che vivono nello spazio di arrivo. Perché le immagini dell'applicazione lineare dovrebbero riempire sempre l'intero spazio di arrivo? Le immagini dell'applicazione costituiscono un sottospazio dello spazio di arrivo, nel caso in cui tale sottospazio coincida con lo spazio di arrivo allora diremo che l'applicazione lineare è suriettiva

Quindi per essere sintetici, in simboli abbiamo che, data

Dunque le immagini di una funzione sono proprio i vettori di W tali per cui esista un vettore in v che viene mappato da f proprio in w. Ora capisci che non è detto che per ogni vettore di W esista un vettore di V associato tramite f. Quindi le immagini della funzione sono un sottospazio vettoriale di W, che non necessariamente coincide con W stesso, quando questo accade la mappa f si dice suriettiva, (mappa, funzione, applicazione, trasformazione...più o meno sono interscambiabili...).

Ora occupiamoci del nucleo. La funzione f è definita su V, a valori in W, è interessante vedere quali vettori di V vengono mappati in 0_W. Non  ti sembra lecito? Tu hai un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali, desideri sapere esattamente quali vettori dello spazio di partenza vengono mandati in 0 dalla funzione. Il nucleo è proprio questo:

Come vedi il nucleo vive nello spazio dove la funzione è definita (V), anch'esso è un sottospazio, questa volta, però contenuto in V.

Ora se questo nucleo è banale, cioè ker(f)=0_V, allora l'applicazione si dice iniettiva. Cosa significa? Se il nucleo è banale, per quello che abbiamo detto sopra, allora l'unico vettore ad essere mandato in 0 è 0. Cioè la funzione f mappa 0_V in 0_W, e nessun altro vettore di V viene mandato in 0.

Ora l'applicazione è lineare, quindi la sua iniettività può venire meno soltanto se più di un vettore viene mandato in 0, nel caso in cui il nucleo sia banale, quindi, l'applicazione è iniettiva.

Capisci dunque che iniettività e suriettività sono proprietà definite in questo modo, cioè:

1. Se un'applicazione lineare ha immagini coincidenti con lo spazio di arrivo, allora si dice suriettiva. (Come faccio a dimostrarlo? Scrivo Im(f) come abbiamo fatto sopra e ne calcolo la dimensione, cioè il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che puoi prendere in Im(f), se la dimensione delle immagini e dello spazio di arrivo coincidono, il gioco è fatto).

2. Se un'applicazione ha nucleo (o kernel) banale, allora si dice iniettiva. (Come lo verifico? Scrivo ker(f) e ne calcolo la dimensione, se ha dimensione 0 allora è banale)

Spero di aver chiarito i tuoi dubbi, almeno in parte!

1. Il nucleo è in V per come è definito: è il sottospazio dei vettori di V che vengono mandati in 0 dalla funzione. Quindi sta in V!

2. Se la dimensione delle immagini non coincide con quella dello spazio di arrivo, allora, semplicemente l'applicazione non è suriettiva.

3. L'iniettività e la suriettività dell'applicazione lineare sono proprietà globali della funzione, quindi valgono per tutti o per nessuno!

4. Certo che può accadere, ti faccio un esempio geometrico, l'applicazione lineare avente come una retta è sia iniettiva che suriettiva: pensa a quella che manda x in 2x, cioè la retta y=2x in R².

5. Se l'applicazione ha nucleo banale, allora l'unico vettore che viene mandato in 0 dall'applicazione è proprio 0.

Ciao Xavier! Nella pratica, cioè con i calcoli, per stabilire se una applicazione è iniettiva il modo più veloce richiede l'utilizzo della matrice associata all'applicazione lineare (che però tu ancora non hai studiato, stando a quanto ci hai detto).

In pratica, ad ogni applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita puoi far corrispondere una matrice che ne individua l'azione, cioè data

esiste una matrice con m righe ed n colonne

tale che

.

Quando avrai studiato come si determina la matrice associata ad un'applicazione lineare (è semplicissimo) per vedere se l'applicazione f è iniettiva ti basterà risolvere il sistema lineare

e guardarne le soluzioni. Se l'unica soluzione è il vettore identicamente nullo , allora l'applicazione rappresentata dalla matrice è iniettiva, in caso contrario no.

E per la suriettività?

Il teorema della nullità più rango dice che

dove V indica lo spazio "di partenza", con Ker(f) indichiamo il nucleo di f, con Im(f) l'immagine di f. Da qui segue automaticamente che, nel caso di endomorfismi  su spazi di dimensione finita, l'iniettività implica la suriettività, e viceversa.

Nota: questo vale solo per le applicazioni lineari tra spazi finito dimensionali.

Per ora puoi solamente limitarti a considerazioni di carattere generale per capire se un'applicazione è iniettiva, molto dipende dal problema specifico, ma appena studierai le matrici associate alle applicazioni lineari non avrai alcun tipo di problema: si tratterà solamente di risolvere un sistema lineare.

Namasté

Sembra strano, ma quando si parla di endomorsmi tra spazi finito dimensionali è proprio così: o è iniettiva e suriettiva, o nessuna delle due!