Geometria Analitica, rette e triangolo rettangolo isoscele...

Ciao, ho avuto difficoltà con questo problema di geometria analitica, con rette che formano un triangolo rettangolo isoscele, mi potreste dare una mano?

Di un triangolo rettangolo isoscele ABC si sa che il vertice dell'angolo retto è A (2;1) e l'equazione della retta BC e y=8-2x. L'esercizio chiede di determinare i vertici B e C

Grazie in anticipo :D

In Superiori - Geometria - Domanda di Fò1993

Soluzioni

Per risolvere agevolmente il problema, facciamo così:

Con la formula della distanza di un punto da una retta, calcoliamo la distanza tra il punto dato e la retta r di equazione:

$r:y=8-2x\implies 2x+y-8=0$

Tale distanza coincide con l'altezza del triangolo rettangolo isoscele.

$AH=\frac{|2\cdot 2+1-8|}{\sqrt{4+1}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$

dove è il piede dell'altezza, ossia l'intersezione tra la retta r e la sua perpendicolare passante per . Determiniamo le sue coordinate.

Il fascio di rette passante per A ha equazione:

$s:y-1=m_{s}(x-2)$

dove $m_{s}$ è il coefficiente angolare, e per determinarlo utilizzeremo la condizione di perpendicolarità. è perpendicolare alla retta se e solo se

$m_{s}=-\frac{1}{m_{r}}\implies m_{s}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$ .

L'equazione della retta s perpendicolare a r è:

$s: y=\frac{1}{2}(x-2)+1\implies y=\frac{x}{2}$

Il punto H è dato dall'intersezione tra le due rette, impostiamo quindi il sistema lineare:

$H:\begin{cases}y=-2x+8\\ y=\frac{x}{2}\end{cases}$

Risolvendolo scopriremo che H ha coordinate $H\left(\frac{16}{5}, \frac{8}{5}\right)$

Oltre ad essere rettangolo, esso deve essere un triangolo isoscele, dunque la sua mediana coincide con la sua alteza e vedendolo come metà di un quadrato, si ha che e H è il punto medio del segmento di estremi B e C.

Supponiamo che B e C abbiano coordinate $B(x_{B},y_{B})$ e $C(x_{C}, y_{C})$ ,

Poiché $B,C\in r$ allora

$B(x_{B}, 8-2x_{B})$

$C(x_{C}, 8-2x_{C})$

Poiché H è il punto medio dei punti B e C allora le loro coordinate devono soddisfare il sistema:

$\begin{cases}\frac{x_{B}+x_{C}}{2}=x_{H}\\ \frac{y_{B}+y_{C}}{2}=y_{H}\end{cases}$

ossia

$\begin{cases}\frac{x_{B}+x_{C}}{2}=\frac{16}{5}\\ \frac{8-2x_{B}+8-2x_{C}}{2}=\frac{8}{5}\end{cases}$

che risolto conduce a:

$x_{C}=\frac{32}{5}-x_{B}$

Sostituiamo $x_{C}$ nelle coordinate di C:

$C\left(\frac{32}{5}-x_{B}, 2x_{B}-\frac{24}{5}\right)$

Sfruttiamo ora la condizione

$BC=2AH\iff BC=\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Calcoliamo la distanza tra i punti B e C:

$BC=\sqrt{\left(x_{B}-x_{C}\right)^2+(y_{B}-y_{C})^2}=$

$=\sqrt{\left(\frac{64}{5}-4x_{B}\right)^2+ \left(2x_{B}-\frac{32}{6}\right)^2}$

che semplificato diventa:

$BC=\sqrt{\frac{4}{5}(16-5x_{B})^2}$

Nel caso non la ricordassi ecco l'articolo dedicato alla formula della distanza tra due punti!

Essa deve essere uguale a $\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Otterremo quindi l'equazione irrazionale:

$\sqrt{\frac{4}{5}(35-5x_{B})}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Risolvendola avremo che:

$x_{B}=\frac{13}{5}\vee x_{B}=\frac{19}{5}$

Ora se $x_{B}=\frac{13}{5}$ allora sostituendo nelle coordinate di B e di C otterremo:

$B\left(\frac{13}{5}, \frac{14}{5}\right)$

$C\left(\frac{19}{5}, \frac{2}{5}\right)$

Se prendiamo invece $x_{B}=\frac{19}{5}$ allora:

$B\left(\frac{19}{5}, \frac{2}{5}\right)$

$C\left(\frac{13}{5}, \frac{14}{5}\right)$ .

Risposta di Ifrit