Geometria Analitica, rette e triangolo rettangolo isoscele

Non riesco a risolvere un problema di Geometria Analitica, in cui mi si chiede di determinare due vertici di un triangolo rettangolo isoscele, conoscendo le coordinate del terzo vertice e l'equazione della retta che passa per gli altri due punti.

Di un triangolo rettangolo isoscele ABC si sa che il vertice dell'angolo retto è A(2,1) e l'equazione della reta BC è y=8-2x. Determinare i vertici B e C.

Grazie.

Domanda di Fò1993

Soluzioni

Il nostro obiettivo è quello di determinare le coordinate dei vertici di un triangolo rettangolo isoscele, sapendo che:
- il vertice dell'angolo retto è $A(x_{A},y_{A})=(2,1)$
- l'equazione della retta passante per $B\ \mbox{e} \ C$ è:
$r_{BC}: \ y=8-2x$
o espressa in forma implicita
$r_{BC}:\ 2x+y-8=0$
Per prima cosa usiamo la formula della distanza di un punto da una retta per determinare la distanza tra il punto e la retta $r_{BC}$ . Tale distanza coincide con l'altezza del triangolo rettangolo isoscele. Indicando con il piede dell'altezza relativa alla base ricaviamo
$\overline{AH}=\frac{|a x_{A}+b y_{A}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
in cui sono i coefficienti della retta espressa in forma implicita
$a=2 \ \ \ ; \ \ \ b= 1 \ \ \ ; \ \ \ c=-8$
mentre $x_{A}=2\ \mbox{e}\ y_{A}=1$ sono rispettivamente l'ascissa e l'ordinata di .
Sostituendo i valori, troviamo
$\overline{AH}=\frac{|2\cdot 2 +1\cdot 1 -8|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$
Ricaviamo le coordinate di vedendolo come l'intersezione tra la retta $r_{BC}$ e la retta che passa per e perpendicolare a $r_{BC}$ .
A tal proposito, consideriamo il fascio di rette passante per
$r_{A}:\ y=m_{r_{A}}(x-x_A)+y_A \ \ \ \to \ \ \ y=m_{r_{A}}(x-2)+1$
e determiniamo il coefficiente angolare $m_{r_{A}}$ in modo che $r_{A}$ sia perpendicolare a $r_{BC}$ .
Per farlo è sufficiente usare la condizione di perpendicolarità tra rette, secondo cui due rette (non verticali) sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1, ossia
$m_{r_{A}}\cdot m_{r_{BC}}=-1 \ \ \ \to \ \ \ m_{r_{A}}\cdot (-2)=-1$
da cui
$m_{r_{A}}=\frac{1}{2}$
L'equazione della retta $r_{A}$ , passante per e perpendicolare a $r_{AB}$ , è quindi:
$r_{A} \ : \ y=\frac{1}{2}(x-2)+1 \ \ \ \to \ \ \ y=\frac{1}{2}x$
Ora che conosciamo le equazioni delle due rette, possiamo calcolarne il punto di intersezione . Impostiamo quindi il sistema
$H=r_{A}\cap r_{BC} \ :\ \begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x\\ \\ y=8-2x\end{cases}$
Risolvendolo con il metodo di sostituzione, ricaviamo immediatamente le coordinate di
$H(x_{H},y_{H})=\left(\frac{16}{5},\frac{8}{5}\right)$
Oltre a essere rettangolo, il triangolo deve essere anche isoscele, perciò l'altezza è sia mediana che bisettrice, perciò è il punto medio del segmento . Vedendo il triangolo come metà di un quadrato, si ha che $\overline{BC}=2\overline{AH}$ . Su questo ragionamento si basa la risoluzione del problema.
Passiamo dalla teoria alla pratica.
Consideriamo i punti
$B(x_{B},y_{B}) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ C(x_{C},y_{C})$
Poiché sono entrambi punti di $r_{BC}$ , le loro coordinate devono soddisfare l'equazione della retta, ossia:
$\\ B\in r_{BC}\ \ \ \to \ \ \ y_{B}=8-2x_B \\ \\ C\in r_{BC} \ \ \ \to \ \ \ y_{C}=8-2x_{C}$
In pratica abbiamo espresso le ordinate dei punti in termini delle rispettive ascisse.
$\\ B(x_{B},y_{B})=(x_{B},8-2x_{B})\\ \\ C(x_{C},y_{C})=(x_{C},8-2x_{C})$
Siccome è il punto medio del segmento di estremi $B\ \mbox{e} \ C$ , le coordinate di questi punti devono soddisfare il sistema
$\begin{cases}\dfrac{x_{B}+x_{C}}{2}=x_{H}\\ \\ \dfrac{y_{B}+y_{C}}{2}=y_{H}\end{cases}$
Sostituiamo $y_{B}=8-2x_{B}$ e $y_{C}=8-2y_{C}$ in modo tale che il sistema diventi
$\begin{cases}\dfrac{x_{B}+x_{C}}{2}=\dfrac{16}{5}\\ \\ \dfrac{8-2x_{B}+8-2x_{C}}{2}=\dfrac{8}{5}\end{cases}$
ossia
$\begin{cases}\dfrac{x_{B}+x_{C}}{2}=\dfrac{16}{5}\\ \\ \dfrac{16-(2x_{B}+2x_{C})}{2}=\dfrac{8}{5}\end{cases}$
Tale sistema è soddisfatto se
$x_{C}=\frac{32}{5}-x_{B}$
Sostituiamo l'espressione ottenuta nelle coordinate di
$C(x_{C},8-2x_{C})=\left(\frac{32}{5}-x_{B},2x_{B}-\frac{24}{5}\right)$
A questo punto dobbiamo sfruttare la condizione
$\overline{BC}=2\overline{AH} \ \ \ \to \ \ \ \overline{BC}=2\cdo\frac{3\sqrt{5}}{5}$
la quale ci garantisce che la distanza tra $B\ \mbox{e}\ C$ è uguale a due volte quella dell'altezza .
Per esplicitare l'equazione, calcoliamo la distanza tra i punti $B\ \mbox{e} \ C$
$\\ \overline{BC}=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^2+(y_{B}-y_{C})^2}=\\ \\ \\ =\sqrt{\left(x_{B}-\left(\frac{32}{5}-x_{B}\right)\right)^2+\left(8-2x_{B}-\left(2x_{B}-\frac{24}{5}\right)\right)^2}= \\ \\ \\ =\sqrt{\left(-\frac{32}{5}+2x_{B}\right)^2+\left(\frac{64}{5}-4x_{B}\right)^{2}}=$
Sviluppando i quadrati di binomio e semplificando il semplificabile, otteniamo
$=\sqrt{\frac{4}{5}(5x_{B}-16)^2}$
Imponiamo l'uguaglianza $\overline{BC}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$ , così da ottenere l'equazione irrazionale
$\sqrt{\frac{4}{5}(5x_{B}-16)^2}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$
le cui soluzioni sono
$x_{B}=\frac{13}{5} \ \ \ \vee \ \ \ x_{B}=\frac{19}{5}$
Se sostituiamo $x_{B}=\frac{13}{5}$ nelle coordinate dei punti $B\ \mbox{e} \ C$ ricaviamo
$B\left(\frac{13}{5},\frac{14}{5}\right)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ C\left(\frac{19}{5},\frac{2}{5}\right)$
Se invece consideriamo $x_{B}=\frac{19}{5}$ , allora le coordinate dei due punti sono:
$B\left(\frac{19}{5},\frac{2}{5}\right) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ C\left(\frac{13}{5},\frac{14}{5}\right)$
Abbiamo finito!
Risposta di Ifrit