Soluzioni
  • Per risolvere agevolmente il problema, facciamo così:

    Con la formula della distanza di un punto da una retta, calcoliamo la distanza tra il punto dato A(2,1) e la retta r di equazione:

    r:y=8-2x\implies 2x+y-8=0

    Tale distanza coincide con l'altezza del triangolo rettangolo isoscele.

    AH=\frac{|2\cdot 2+1-8|}{\sqrt{4+1}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}

    dove H è il piede dell'altezza, ossia l'intersezione tra la retta r e la sua perpendicolare passante per A. Determiniamo le sue coordinate.

    Il fascio di rette passante per A ha equazione:

    s:y-1=m_{s}(x-2)

    dove m_{s} è il coefficiente angolare, e per determinarlo utilizzeremo la condizione di perpendicolarità. s è perpendicolare alla retta r se e solo se

    m_{s}=-\frac{1}{m_{r}}\implies m_{s}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}.

    L'equazione della retta s perpendicolare a r è:

    s: y=\frac{1}{2}(x-2)+1\implies y=\frac{x}{2}

    Il punto H è dato dall'intersezione tra le due rette, impostiamo quindi il sistema lineare:

    H:\begin{cases}y=-2x+8\\ y=\frac{x}{2}\end{cases}

    Risolvendolo scopriremo che H ha coordinate H\left(\frac{16}{5}, \frac{8}{5}\right)

    Oltre ad essere rettangolo, esso deve essere un triangolo isoscele, dunque la sua mediana coincide con la sua alteza e vedendolo come metà di un quadrato, si ha che BC=2AH e H è il punto medio del segmento di estremi B e C.

    Supponiamo che B e C abbiano coordinate B(x_{B},y_{B}) e C(x_{C}, y_{C}),

    Poiché B,C\in r allora

    B(x_{B}, 8-2x_{B})

    C(x_{C}, 8-2x_{C})

    Poiché H è il punto medio dei punti B e C allora le loro coordinate devono soddisfare il sistema:

    \begin{cases}\frac{x_{B}+x_{C}}{2}=x_{H}\\ \frac{y_{B}+y_{C}}{2}=y_{H}\end{cases}

    ossia

    \begin{cases}\frac{x_{B}+x_{C}}{2}=\frac{16}{5}\\ \frac{8-2x_{B}+8-2x_{C}}{2}=\frac{8}{5}\end{cases}

    che risolto conduce a:

    x_{C}=\frac{32}{5}-x_{B}

    Sostituiamo x_{C} nelle coordinate di C:

    C\left(\frac{32}{5}-x_{B}, 2x_{B}-\frac{24}{5}\right)

    Sfruttiamo ora la condizione 

    BC=2AH\iff BC=\frac{6\sqrt{5}}{5}

    Calcoliamo la distanza tra i punti B e C:

    BC=\sqrt{\left(x_{B}-x_{C}\right)^2+(y_{B}-y_{C})^2}=

    =\sqrt{\left(\frac{64}{5}-4x_{B}\right)^2+ \left(2x_{B}-\frac{32}{6}\right)^2}

    che semplificato diventa:

    BC=\sqrt{\frac{4}{5}(16-5x_{B})^2}

    Nel caso non la ricordassi ecco l'articolo dedicato alla formula della distanza tra due punti!

    Essa deve essere uguale a \frac{6\sqrt{5}}{5}

    Otterremo quindi l'equazione irrazionale:

    \sqrt{\frac{4}{5}(35-5x_{B})}=\frac{6\sqrt{5}}{5}

    Risolvendola avremo che:

    x_{B}=\frac{13}{5}\vee x_{B}=\frac{19}{5}

    Ora se x_{B}=\frac{13}{5} allora sostituendo nelle coordinate di B e di C otterremo:

    B\left(\frac{13}{5}, \frac{14}{5}\right)

    C\left(\frac{19}{5}, \frac{2}{5}\right)

    Se prendiamo invece x_{B}=\frac{19}{5} allora:

    B\left(\frac{19}{5}, \frac{2}{5}\right)

    C\left(\frac{13}{5}, \frac{14}{5}\right).

    Risposta di Ifrit
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