Il nostro obiettivo è quello di determinare le coordinate dei vertici
di un triangolo rettangolo isoscele, sapendo che:
- il vertice dell'angolo retto è
- l'equazione della retta passante per
è:
o espressa in forma implicita
Per prima cosa usiamo la formula della distanza di un punto da una retta per determinare la distanza tra il punto
e la retta
. Tale distanza coincide con l'altezza del triangolo rettangolo isoscele. Indicando con
il piede dell'altezza relativa alla base
ricaviamo
in cui
sono i coefficienti della retta espressa in forma implicita
mentre
sono rispettivamente l'ascissa e l'ordinata di
.
Sostituendo i valori, troviamo
Ricaviamo le coordinate di
vedendolo come l'intersezione tra la retta
e la retta che passa per
e perpendicolare a
.
A tal proposito, consideriamo il fascio di rette passante per
e determiniamo il coefficiente angolare
in modo che
sia perpendicolare a
.
Per farlo è sufficiente usare la condizione di perpendicolarità tra rette, secondo cui due rette (non verticali) sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1, ossia
da cui
L'equazione della retta
, passante per
e perpendicolare a
, è quindi:
Ora che conosciamo le equazioni delle due rette, possiamo calcolarne il punto di intersezione
. Impostiamo quindi il sistema
Risolvendolo con il metodo di sostituzione, ricaviamo immediatamente le coordinate di
Oltre a essere rettangolo, il triangolo deve essere anche isoscele, perciò l'altezza
è sia mediana che bisettrice, perciò
è il punto medio del segmento
. Vedendo il triangolo come metà di un quadrato, si ha che
. Su questo ragionamento si basa la risoluzione del problema.
Passiamo dalla teoria alla pratica.
Consideriamo i punti
Poiché sono entrambi punti di
, le loro coordinate devono soddisfare l'equazione della retta, ossia:
In pratica abbiamo espresso le ordinate dei punti in termini delle rispettive ascisse.
Siccome
è il punto medio del segmento di estremi
, le coordinate di questi punti devono soddisfare il sistema
Sostituiamo
e
in modo tale che il sistema diventi
ossia
Tale sistema è soddisfatto se
Sostituiamo l'espressione ottenuta nelle coordinate di
A questo punto dobbiamo sfruttare la condizione
la quale ci garantisce che la distanza tra
è uguale a due volte quella dell'altezza
.
Per esplicitare l'equazione, calcoliamo la distanza tra i punti
Sviluppando i quadrati di binomio e semplificando il semplificabile, otteniamo
Imponiamo l'uguaglianza
, così da ottenere l'equazione irrazionale
le cui soluzioni sono
Se sostituiamo
nelle coordinate dei punti
ricaviamo
Se invece consideriamo
, allora le coordinate dei due punti sono:
Abbiamo finito!
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