Soluzioni
  • Il nostro obiettivo è quello di determinare le coordinate dei vertici B,C di un triangolo rettangolo isoscele, sapendo che:

    - il vertice dell'angolo retto è A(x_{A},y_{A})=(2,1)

    - l'equazione della retta passante per B\ \mbox{e} \ C è:

    r_{BC}: \ y=8-2x

    o espressa in forma implicita

    r_{BC}:\ 2x+y-8=0

    Per prima cosa usiamo la formula della distanza di un punto da una retta per determinare la distanza tra il punto A e la retta r_{BC}. Tale distanza coincide con l'altezza del triangolo rettangolo isoscele. Indicando con H il piede dell'altezza relativa alla base BC ricaviamo

    \overline{AH}=\frac{|a x_{A}+b y_{A}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

    in cui a,b,c sono i coefficienti della retta espressa in forma implicita

    a=2 \ \ \ ; \ \ \ b= 1 \ \ \ ; \ \ \ c=-8

    mentre x_{A}=2\ \mbox{e}\  y_{A}=1 sono rispettivamente l'ascissa e l'ordinata di A.

    Sostituendo i valori, troviamo

    \overline{AH}=\frac{|2\cdot 2 +1\cdot 1 -8|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}

    Ricaviamo le coordinate di H vedendolo come l'intersezione tra la retta r_{BC} e la retta che passa per A e perpendicolare a r_{BC}.

    A tal proposito, consideriamo il fascio di rette passante per A

    r_{A}:\ y=m_{r_{A}}(x-x_A)+y_A \ \ \ \to \ \ \ y=m_{r_{A}}(x-2)+1

    e determiniamo il coefficiente angolare m_{r_{A}} in modo che r_{A} sia perpendicolare a r_{BC}.

    Per farlo è sufficiente usare la condizione di perpendicolarità tra rette, secondo cui due rette (non verticali) sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1, ossia

    m_{r_{A}}\cdot m_{r_{BC}}=-1 \ \ \ \to \ \ \ m_{r_{A}}\cdot (-2)=-1

    da cui

    m_{r_{A}}=\frac{1}{2}

    L'equazione della retta r_{A}, passante per A e perpendicolare a r_{AB}, è quindi:

    r_{A} \ : \ y=\frac{1}{2}(x-2)+1 \ \ \ \to \ \ \ y=\frac{1}{2}x

    Ora che conosciamo le equazioni delle due rette, possiamo calcolarne il punto di intersezione H. Impostiamo quindi il sistema

    H=r_{A}\cap r_{BC} \ :\ \begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x\\ \\ y=8-2x\end{cases}

    Risolvendolo con il metodo di sostituzione, ricaviamo immediatamente le coordinate di H

    H(x_{H},y_{H})=\left(\frac{16}{5},\frac{8}{5}\right)

    Oltre a essere rettangolo, il triangolo deve essere anche isoscele, perciò l'altezza AH è sia mediana che bisettrice, perciò H è il punto medio del segmento BC. Vedendo il triangolo come metà di un quadrato, si ha che \overline{BC}=2\overline{AH}. Su questo ragionamento si basa la risoluzione del problema.

    Passiamo dalla teoria alla pratica.

    Consideriamo i punti

    B(x_{B},y_{B}) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ C(x_{C},y_{C})

    Poiché sono entrambi punti di r_{BC}, le loro coordinate devono soddisfare l'equazione della retta, ossia:

    \\ B\in r_{BC}\ \ \ \to \ \ \ y_{B}=8-2x_B \\ \\ C\in r_{BC} \ \ \ \to \ \ \ y_{C}=8-2x_{C}

    In pratica abbiamo espresso le ordinate dei punti in termini delle rispettive ascisse.

    \\ B(x_{B},y_{B})=(x_{B},8-2x_{B})\\ \\ C(x_{C},y_{C})=(x_{C},8-2x_{C})

    Siccome H è il punto medio del segmento di estremi B\ \mbox{e} \ C, le coordinate di questi punti devono soddisfare il sistema

    \begin{cases}\dfrac{x_{B}+x_{C}}{2}=x_{H}\\ \\ \dfrac{y_{B}+y_{C}}{2}=y_{H}\end{cases}

    Sostituiamo y_{B}=8-2x_{B} e y_{C}=8-2y_{C} in modo tale che il sistema diventi

    \begin{cases}\dfrac{x_{B}+x_{C}}{2}=\dfrac{16}{5}\\ \\ \dfrac{8-2x_{B}+8-2x_{C}}{2}=\dfrac{8}{5}\end{cases}

    ossia

    \begin{cases}\dfrac{x_{B}+x_{C}}{2}=\dfrac{16}{5}\\ \\ \dfrac{16-(2x_{B}+2x_{C})}{2}=\dfrac{8}{5}\end{cases}

    Tale sistema è soddisfatto se

    x_{C}=\frac{32}{5}-x_{B}

    Sostituiamo l'espressione ottenuta nelle coordinate di C

    C(x_{C},8-2x_{C})=\left(\frac{32}{5}-x_{B},2x_{B}-\frac{24}{5}\right)

    A questo punto dobbiamo sfruttare la condizione

    \overline{BC}=2\overline{AH} \ \ \ \to \ \ \ \overline{BC}=2\cdo\frac{3\sqrt{5}}{5}

    la quale ci garantisce che la distanza tra B\ \mbox{e}\ C è uguale a due volte quella dell'altezza AH.

    Per esplicitare l'equazione, calcoliamo la distanza tra i punti B\ \mbox{e} \ C

    \\ \overline{BC}=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^2+(y_{B}-y_{C})^2}=\\ \\ \\ =\sqrt{\left(x_{B}-\left(\frac{32}{5}-x_{B}\right)\right)^2+\left(8-2x_{B}-\left(2x_{B}-\frac{24}{5}\right)\right)^2}= \\ \\ \\ =\sqrt{\left(-\frac{32}{5}+2x_{B}\right)^2+\left(\frac{64}{5}-4x_{B}\right)^{2}}=

    Sviluppando i quadrati di binomio e semplificando il semplificabile, otteniamo

    =\sqrt{\frac{4}{5}(5x_{B}-16)^2}

    Imponiamo l'uguaglianza \overline{BC}=\frac{6\sqrt{5}}{5}, così da ottenere l'equazione irrazionale

    \sqrt{\frac{4}{5}(5x_{B}-16)^2}=\frac{6\sqrt{5}}{5}

    le cui soluzioni sono

    x_{B}=\frac{13}{5} \ \ \ \vee \ \ \ x_{B}=\frac{19}{5}

    Se sostituiamo x_{B}=\frac{13}{5} nelle coordinate dei punti B\ \mbox{e} \ C ricaviamo

    B\left(\frac{13}{5},\frac{14}{5}\right)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ C\left(\frac{19}{5},\frac{2}{5}\right)

    Se invece consideriamo x_{B}=\frac{19}{5}, allora le coordinate dei due punti sono:

    B\left(\frac{19}{5},\frac{2}{5}\right) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ C\left(\frac{13}{5},\frac{14}{5}\right)

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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