Soluzioni
  • Partiamo dalle definizioni:

    Abbiamo due spazi vettoriali su un campo \mathbb{K}V, di dimensione n, W, di dimensione m.

    Siamo in dimensione finita, quindi entrambi gli spazi ammettono una base (*).

    B_V=\left\{\mathbf{v}_1,\cdots \mathbf{v}_n\right\}

    B_W=\left\{\mathbf{w}_1,\cdots \mathbf{w}_m\right\}

     

    Una applicazione

    T:V\longrightarrow W

    è lineare se e solo se per definizione:
    \forall \mathbf{v},\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in V,\quad\forall k\in \mathbb{K}

    1. T(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=T(\mathbf{v}_1)+T(\mathbf{v}_2)\quad \mbox{additivita}'


    2.T(k \mathbf{v})=kT(\mathbf{v})\quad\mbox{omogeneita}'

    Una applicazione, in generale, è determinata quando si sa come agisce su tutti gli elementi dello spazio di partenza, quando cioè si conosce il modo in cui "trasforma" tutti gli elementi di V (insieme di partenza) negli elementi di W (insieme di arrivo). Ti renderai conto che se dobbiamo conoscere come trasforma tutti i vettori dello spazio vettoriale, la cosa diventa alquanto... mostruosa!

    Per le applicazioni lineari, la situazione è molto semplificata (e ringraziamo il cielo!, anzi no, i matematici!), perché è sufficiente conoscere come agisce T sulla base di V per comprendere come agisce su tutti gli altri vettori dello spazio vettoriale di V. Vediamo il perché:

    Sia \mathbf{v}\in V, un vettore generico dello spazio vettoriale, esso si può esprimere come combinazione lineare della base B_V.

    \mathbf{v}= k_1\mathbf{v}_1+\cdots k_n\mathbf{v}_n\quad k_i\in\mathbb{K}


    Vediamo come agisce l'applicazione lineare T su \mathbf{v}:

    T(\mathbf{v})=T(k_1\mathbf{v}_1+\cdots k_n\mathbf{v}_n)

    Per la proprietà 1. :

    T(k_1\mathbf{v}_1+\cdots k_n\mathbf{v}_n)= T(k_1\mathbf{v}_1)+\cdots T(k_n\mathbf{v}_n)

    Per la proprietà 2.


    T(k_1\mathbf{v}_1)+\cdots T(k_n\mathbf{v}_n)= k_1 T(\mathbf{v}_1)+\cdots k_n T(\mathbf{v}_n)

    Abbiamo quindi scoperto che:

    T(\mathbf{v})=k_1 T(\mathbf{v}_1)+\cdots k_n T(\mathbf{v}_n)

    Questa è una cosa fighissima, perché per determinare le applicazioni lineare, è sufficiente vedere come esse agiscono sulla base dello spazio vettoriale! Ecco perché ricoprono un ruolo davvero importante in tutti i campi della matematica! Ci permettono di semplificare le cose.

    2) Ad ogni applicazione lineare è possibile associare una matrice che la rappresenta. Il teorema, perchè è un teorema!, ti dice in pratica che due applicazioni lineari sono idencamente uguali se e solo se le matrici che le rappresentano coincidono.

    La scrittura: \mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{K}) indica l'insieme delle matrici n\times m a coefficienti nel campo \mathbb{K}

     

    ____________________

    (*) Non sto affermando che la base è unica! ;)

    Risposta di Ifrit
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