Soluzioni
  • Ciao Giulialg88, se vuoi tutti i passaggi per due esercizi, ci vogliono due diverse domande. Questa domanda vale per il primo, che ti risolvo qui di seguito, per il secondo (come da regolamento) ci vuole un'altra domanda. Grazie!

    Risposta di Omega
  • Per verificare che una relazione è una relazione d'ordine, dobbiamo provare che è:

    - riflessiva;

    - antisimmetrica;

    - transitiva;

    Per provare la riflessività, osserva che

    a|a\mbox{ e }b\leq b

    quindi

    (a,b)R(a,b).

    Per provare l'antisimmetria, supponiamo che

    (a,b)R(c,d)\mbox{ e che }(c,d)R(a,b)

    vogliamo provare che

    (a,b)=(c,d)

    il che è evidente, perchè per ipotesi

    a|c\mbox{ e }c|a

    e quindi dato che siamo in N* ne segue che a=c (in Z avremmo avuto a=±c)

    e inoltre

    b\leq d\mbox{ e }d\leq b

    quindi b=d.

    Infine, per la transitività, supponiamo che

    (a,b)R(c,d)\mbox{ e }(c,d)R(e,f)

    dunque

    a|c\mbox{ e }c|e\rightarrow a|e

    b\leq d\mbox{ e }d\leq f\rightarrow b\leq f

    quindi

    (a,b)R(e,f)

    ed è transitiva!

    Quindi è una relazione d'ordine, ma non è totale perchè non tutti gli elementi di N* sono tra loro divisibili.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • potresti spiegarmi meglio  perchè è antisimmetrica per favore?

    in particolare "quindi dato che siamo in N* ne segue che a=c (in Z avremmo avuto a=±c)"

    perchè a=c? perchè in Z avremmo avuto a=±c?

    Risposta di Giulialg88
  • E' molto meno misterioso di quanto sembri: -2, ad esempio, divide 4. Anche 2 divide 4.

    Ora, è un noto risultato algebrico che se un numero divide un altro numero, e viceversa, allora i due numeri coincidono a meno del segno. 

    Esempio: -2 divide 2 e 2 divide -2. Questo in Z.

     

    Se lavori in N*, invece, e hai due numeri che si dividono a vicenda, allora devono necessariamente coincidere, perchè tanto non hai a disposizione gli interi negativi.

    Esempio: 2 divide 2 e basta in N*.

    Così è più chiaro?

    Risposta di Omega
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