Proprietà delle proporzioni

Le proprietà delle proporzioni sono la proprietà fondamentale e quelle dell'invertire, del permutare, del comporre e dello scomporre. Servono a formare nuove proporzioni partendo da una proporzione già nota, e soprattutto a risolvere le proporzioni con una o più incognite.

Per capire gli enunciati delle cinque proprietà è necessario conoscere i nomi dei termini che formano le proporzioni. Ricordiamoli: data una proporzione qualsiasi

si dicono:

• medi, il secondo e il terzo termine, ossia i numeri più vicini al simbolo di uguale (b e c);

• estremi, il primo e il quarto termine, ossia i numeri esterni (a e d);

• antecedenti, i numeri che precedono i due punti, dunque il primo e il terzo termine (a e c);

• conseguenti, i numeri che seguono i due punti, dunque il secondo e il quarto termine (b e d).

Siamo pronti per enunciare le proprietà delle proporzioni. Cliccando sui rispettivi link potrai accedere a una pagina di approfondimento dedicata alla singola proprietà, con esercizi svolti e le relative dimostrazioni.

Proprietà fondamentale delle proporzioni

In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Proprietà dell'invertire

Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene una nuova proporzione.

Proprietà del permutare

Se in una proporzione si scambiano tra loro i medi, o gli estremi, o entrambi, si ottengono nuove proporzioni.

Proprietà del comporre

In ogni proporzione la somma dei primi due termini sta al primo oppure al secondo termine come la somma degli ultimi due termini sta al terzo oppure al quarto termine.

Proprietà dello scomporre

In ogni proporzione la differenza dei primi due termini sta al primo oppure al secondo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al terzo oppure al quarto termine.

Tabella di riepilogo delle proprietà delle proporzioni

Ecco una semplice tabella che riassume le cinque proprietà delle proporzioni.

Esempi di utilizzo delle proprietà delle proporzioni

Stabilire se

è una proporzione e, in caso di risposta affermativa, scrivere tutte le proporzioni che si ottengono applicando le varie proprietà.

Svolgimento: per controllare se quella assegnata è una proporzione oppure no basta applicare la proprietà fondamentale, secondo cui una proporzione è tale se il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Nella proporzione

i medi sono 15 e 12, gli estremi 36 e 5. Calcoliamo i prodotti e confrontiamoli.

Poiché sono uguali, quella considerata è una proporzione.

Proseguiamo scrivendo le proporzioni che si ottengono applicando le proprietà dell'invertire, del permutare, del comporre e dello scomporre.

• Partiamo dalla proprietà dell'invertire.

Nella proporzione

gli antecedenti sono 36 e 12, e i conseguenti sono 15 e 5.

Scambiamo ogni antecedente con il relativo conseguente, e otteniamo:

• Passiamo alla proprietà del permutare che, attenzione, ingloba tre proprietà. Possiamo infatti scambiare tra loro i medi, o gli estremi, o sia i medi che gli estremi.

- Permutiamo i medi, ossia scambiamo il 15 con il 12

- Permutiamo gli estremi, ossia scambiamo il 36 con il 5

- Permutiamo sia i medi che gli estremi, ossia scambiamo il 15 con il 12 e il 36 con il 5

• Proseguiamo con la proprietà del comporre, che ha due varianti:

- la prima stabilisce che la somma dei primi due termini di una proporzione sta al primo termine come la somma degli ultimi due termini sta al terzo termine, per cui

da cui segue

- la seconda stabilisce che la somma dei primi due termini di una proporzione sta al secondo termine come la somma degli ultimi due termini sta al quarto termine, dunque

e quindi

• Concludiamo con la proprietà dello scomporre. Anch'essa ha due varianti:

- la prima afferma che la differenza dei primi due termini di una proporzione sta al primo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al terzo termine, pertanto

da cui

- la seconda stabilisce che la differenza dei primi due termini di una proporzione sta al secondo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al quarto termine, di conseguenza

e quindi

Proprietà delle proporzioni in proporzioni con una o due incognite

Le proprietà delle proporzioni si rivelano di grande utilità quando si devono risolvere le proporzioni con una o più incognite. Vediamo un paio di esempi.

1) Calcolare il termine incognito della seguente proporzione con frazioni

Svolgimento: applichiamo la proprietà fondamentale (prodotto dei medi uguale al prodotto degli estremi)

Svolgiamo la moltiplicazione tra frazioni a destra del simbolo di uguale

Moltiplichiamo ambo i membri per 22/5, ossia per l'inversa della frazione 5/22 (coefficiente della x)

Ci siamo! Il termine incognito è .

2) Sapendo che trovare i valori di e nella proporzione

Svolgimento: come prima cosa usiamo la proprietà del permutare i medi e scambiamo 4 con

Applichiamo poi una delle varianti della proprietà del comporre (la scelta è del tutto libera)

e otteniamo

Sostituiamo

e determiniamo il valore della con la proprietà fondamentale

Troviamo infine il valore della : usiamo la relazione , esplicitiamola a favore della y e sostituiamo

In definitiva

***

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- l'approfondimento sulle proporzioni con un'incognita e quello sulle proporzioni con due incognite;

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