Formula di Gauss

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Qual è la formula di Gauss per la somma dei primi n numeri naturali? Potreste scriverla, proporre qualche esempio di applicazione e spiegare come si dimostra?

 

In altre parole vorrei sapere qual è e come si applica la formula di Gauss che riguarda la somma dei numeri naturali da 1 a n, magari con qualche esempio che mi aiuti a capire meglio.

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • La formula di Gauss per la somma dei primi n numeri naturali stabilisce che la somma dei numeri naturali da 1 a n è uguale al semiprodotto tra n e n+1. Se indichiamo con S(n) la somma dei primi n numeri naturali positivi, risulta che S(n)=(n(n+1))/2.

    S(n) = 1+2+...+n = (n(n+1))/(2)

    Per dimostrare la formula di Gauss si può procedere con una dimostrazione diretta oppure applicare il principio di induzione. Tra un istante analizzeremo entrambi i metodi, ma prima vediamo un paio di esempi che ci aiuteranno a prendere confidenza con la formula.

    Esempi di applicazione della formula di Gauss

    1) Calcolare la somma dei primi 50 numeri naturali positivi.

    Svolgimento: usiamo la formula di Gauss e sostituiamo n = 50

    S(50) = 1+2+...+50 = (50·(50+1))/(2) = (50·51)/(2) = (2550)/(2) = 1275

    La somma dei numeri naturali da 1 a 50 è quindi 1275.

    2) Qual è la somma dei numeri naturali da 1 a 100?

    Svolgimento: anche qui applichiamo la formula di Gauss, e questa volta sostituiamo n = 100

    S(100) = 1+2+...+100 = (100·(100+1))/(2) = (100·101)/(2) = (10100)/(2) = 5050

    Abbiamo così ottenuto che la somma dei numeri naturali da 1 a 100 è 5050.

    Dimostrazione diretta della formula di Gauss

    Sia n ∈ N-0 un numero naturale positivo e indichiamo con S(n) la somma dei numeri naturali da 1 a n.

    Vogliamo dimostrare che S(n) è uguale al semiprodotto tra n e n+1, ossia che vale la formula

    S(n) = (n(n+1))/(2)

    Procediamo: S(n) è la somma dei numeri naturali da 1 a n, dunque

    S(n) = 1+2+...+(n-1)+n

    Invertiamo la posizione degli addendi al secondo membro (possiamo farlo in virtù della proprietà commutativa dell'addizione)

    S(n) = n+(n-1)+...+2+1

    Sommiamo in verticale gli addendi corrispondenti alle ultime due relazioni

    S(n)+S(n) = (n+1)+(n-1+2)+...+(n-1+2)+(n+1)

    e otteniamo

    2·S(n) = (n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)

    Quella al secondo membro è una somma tra n addendi uguali a n+1. Scriviamola sotto forma di moltiplicazione

    2·S(n) = (n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1) (n volte) = n·(n+1)

    In definitiva

    2·S(n) = n·(n+1)

    Dividiamo ambo i membri per 2 e otteniamo proprio la formula di Gauss che volevamo dimostrare

    S(n) = (n·(n+1))/(2)

    Dimostrazione della formula di Gauss per induzione

    Procediamo ora con la dimostrazione per induzione, ossia proviamo per induzione su n che

    1+2+...+n = (n(n+1))/(2) ∀ n ∈ N, n ≥ 1

    • Passo base: verifichiamo l'uguaglianza per n = 1

    Se n = 1 abbiamo un 1 al primo membro, mentre il secondo membro diventa

    (1·(1+1))/(2) = (1·2)/(2) = (2)/(2) = 1

    Poiché 1 = 1, la formula è verificata.

    • Passo induttivo: assumiamo la tesi per n, ossia supponiamo che sia vera l'uguaglianza

    1+2+...+n = (n(n+1))/(2)

    e dimostriamola per n+1, ossia proviamo che

    1+2+...+n+(n+1) = ((n+1)(n+2))/(2)

    Concentriamoci sul primo membro di quest'ultima relazione e associamo i primi n numeri

    (1+2+...+n)+(n+1) =

    possiamo ora applicare l'ipotesi induttiva, secondo cui la somma dei numeri naturali da 1 a n è uguale al semiprodotto tra n e n+1

    = (n(n+1))/(2)+(n+1) = (n(n+1)+2(n+1))/(2) =

    Raccogliamo a fattor comune n+1

    = ((n+1)(n+2))/(2)

    in definitiva

    1+2+...+n+(n+1) = ((n+1)(n+2))/(2)

    Ciò prova la validità del passo induttivo e conclude la dimostrazione per induzione della formula di Gauss.

    È tutto!

    Risposta di Galois
 
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