Soluzioni
  • Le potenze di 3 sono le potenze della forma 3n, dove n è un qualsiasi numero naturale. Si calcolano moltiplicando il numero 3 per se stesso tante volte quante indicate dall'esponente e ricordando che 30=1.

    Le potenze del tipo 3n si studiano già nella scuola primaria e sono quelle che si ripropongono più spesso negli esercizi. Proseguendo gli studi capita però di imbattersi in potenze di 3 con esponente intero negativo o con esponente razionale.

    Vediamo come si calcolano analizzando i vari casi separatamente.

    Potenze di 3 con esponente un numero naturale

    Le potenze di 3 con esponente un numero naturale positivo rappresentano delle moltiplicazioni ripetute. In accordo con la definizione di potenza, se n è un numero naturale positivo la potenza 3n si calcola moltiplicando il numero 3 per se stesso n volte.

    3^n = 3×3×...×3 (n volte)

    Se l'esponente è zero il risultato della potenza è 1, ossia 30=1 (per approfondire: potenze alla zero).

    Vediamo un paio di esempi.

    • 33 (3 alla terza) è la potenza di 3 con esponente 3. Per calcolarne il valore moltiplichiamo 3 per se stesso tre volte e otteniamo che 33=27.

    3^3 = 3×3×3 = 27

    • 36 (3 alla sesta) è la potenza di 3 con esponente 6 ed è uguale a 729, infatti

    3^6 = 3×3×3×3×3×3 = 729

    Ecco una tabella con le prime 20 potenze di 3 con esponente un numero naturale.

     

    Potenza di 3

    Valore della potenza

    30

    1

    31

    3

    32

    9

    33

    27

    34

    81

    35

    243

    36

    729

    37

    2187

    38

    6561

    39

    19 683

    310

    59 049

    311

    177 147

    312

    531 441

    313

    1 594 323

    314

    4 782 969

    315

    14 348 907

    316

    43 046 721

    317

    129 140 163

    318

    387 420 489

    319

    1 162 261 467

     

    Potenze di 3 con esponente intero negativo

    Una potenza di 3 con esponente intero negativo si riscrive passando al reciproco della base, che è 1/3, ed eliminando il segno meno all'esponente. Se n è un numero intero positivo la potenza 3-n equivale alla potenza (1/3)n.

    3^(-n) = ((1)/(3))^n

    Vediamo qualche esempio:

    3^(-2)

    Riscriviamo la potenza eliminando il segno meno dall'esponente e passando al reciproco della base

    3^(-2) = ((1)/(3))^2 =

    La potenza di una frazione è una frazione che ha come numeratore la potenza del numeratore e come denominatore la potenza del denominatore

    = (1^2)/(3^2) = (1)/(9)

    3^(-4) = ((1)/(3))^4 = (1^4)/(3^4) = (1)/(81)

    3^(-7) = ((1)/(3))^(7) = (1^7)/(3^7) = (1)/(2187)

    Per saperne di più: potenze con esponente negativo - click!

    Potenze di 3 con esponente razionale

    Una potenza di 3 il cui esponente è un numero razionale, ossia una frazione, equivale a una radice che ha come indice il denominatore dell'esponente e come radicando 3 elevato al numeratore dell'esponente.

    3^((m)/(n)) = [n]√(3^m) con n,m ∈ Z

    Anche in questo caso vediamo qualche esempio.

    3^((1)/(2))

    L'esponente è una frazione che ha come numeratore m = 1 e come denominatore n = 2, per cui la potenza equivale a una radice con indice n = 2 e radicando 3^m = 3^1

    3^((1)/(2)) = [2]√(3^1) = √(3)

    3^((2)/(3)) = [3]√(3^2) = [3]√(9)

    3^(-(3)/(4)) = [4]√(3^(-3)) = [4]√(((1)/(3))^3) = [4]√((1)/(27))

    Per approfondire: potenze con esponente fratto - click!

    ***

    Per concludere ti invitiamo a leggere la nostra lezione sulle potenze, dove potrai fare un ripasso approfondito su tutto quello che c'è da sapere.

    Risposta di Galois
 
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