Le potenze di 3 sono le potenze della forma 3n, dove n è un qualsiasi numero naturale. Si calcolano moltiplicando il numero 3 per se stesso tante volte quante indicate dall'esponente e ricordando che 30=1.
Le potenze del tipo 3n si studiano già nella scuola primaria e sono quelle che si ripropongono più spesso negli esercizi. Proseguendo gli studi capita però di imbattersi in potenze di 3 con esponente intero negativo o con esponente razionale.
Vediamo come si calcolano analizzando i vari casi separatamente.
Potenze di 3 con esponente un numero naturale
Le potenze di 3 con esponente un numero naturale positivo rappresentano delle moltiplicazioni ripetute. In accordo con la definizione di potenza, se n è un numero naturale positivo la potenza 3n si calcola moltiplicando il numero 3 per se stesso n volte.
Se l'esponente è zero il risultato della potenza è 1, ossia 30=1 (per approfondire: potenze alla zero).
Vediamo un paio di esempi.
• 33 (3 alla terza) è la potenza di 3 con esponente 3. Per calcolarne il valore moltiplichiamo 3 per se stesso tre volte e otteniamo che 33=27.
• 36 (3 alla sesta) è la potenza di 3 con esponente 6 ed è uguale a 729, infatti
Ecco una tabella con le prime 20 potenze di 3 con esponente un numero naturale.
Potenza di 3
Valore della potenza
30
1
31
3
32
9
33
27
34
81
35
243
36
729
37
2187
38
6561
39
19 683
310
59 049
311
177 147
312
531 441
313
1 594 323
314
4 782 969
315
14 348 907
316
43 046 721
317
129 140 163
318
387 420 489
319
1 162 261 467
Potenze di 3 con esponente intero negativo
Una potenza di 3 con esponente intero negativo si riscrive passando al reciproco della base, che è 1/3, ed eliminando il segno meno all'esponente. Se n è un numero intero positivo la potenza 3-n equivale alla potenza (1/3)n.
Vediamo qualche esempio:
•
Riscriviamo la potenza eliminando il segno meno dall'esponente e passando al reciproco della base
La potenza di una frazione è una frazione che ha come numeratore la potenza del numeratore e come denominatore la potenza del denominatore
•
•
Per saperne di più: potenze con esponente negativo - click!
Potenze di 3 con esponente razionale
Una potenza di 3 il cui esponente è un numero razionale, ossia una frazione, equivale a una radice che ha come indice il denominatore dell'esponente e come radicando 3 elevato al numeratore dell'esponente.
![3^((m)/(n)) = [n]√(3^m) con n,m ∈ Z](/images/joomlatex/7/6/76cca7561a2c501211b581909bbad24a.gif)
Anche in questo caso vediamo qualche esempio.
•
L'esponente è una frazione che ha come numeratore
e come denominatore 
, per cui la potenza equivale a una radice con indice e radicando 
![3^((1)/(2)) = [2]√(3^1) = √(3)](/images/joomlatex/2/a/2aa698c4d81d1c9c9af263af5963d601.gif)
•
![3^((2)/(3)) = [3]√(3^2) = [3]√(9)](/images/joomlatex/0/8/0888d427c005d628f76466b39fe959e8.gif)
•
![3^(-(3)/(4)) = [4]√(3^(-3)) = [4]√(((1)/(3))^3) = [4]√((1)/(27))](/images/joomlatex/7/5/75f94132a28903e48b3f8767f717f6a8.gif)
Per approfondire: potenze con esponente fratto - click!
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Per concludere ti invitiamo a leggere la nostra lezione sulle potenze, dove potrai fare un ripasso approfondito su tutto quello che c'è da sapere.
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