Disequazione logaritmica con logaritmo in base 1/5
Buongiorno ho una disequazione logaritmica in cui i logaritmi hanno base 1/5, faccio tutto il procedimento, arrivo alla tabella dei segni e non mi viene! Il risultato O-tagliato.
log in base 1/5 [(3x-2)/(x+5)] - log in base 1/5 [(3+x)/(2-x)] < 0
Grazie!
Ti rispondo subito Effy27
Risposta di Alpha
Benissimo! Eccola qui:
Trovi tutto il procedimento risolutivo nella lezione sulle disequazioni logaritmiche.
Per prima cosa le condizioni di esistenza: denominatori diversi da zero e argomenti dei logaritmi strettamente positivi!
cioè
e
facendo il grafico per le disequazioni fratte ottieni che la fraizone è positiva in
o
Idem per l'argomento del secondo logaritmo, ottieni: x compreso tra -3 e 2.
Le condizioni di esistenza devono valere contemporaneamente, quindi rappresentandole in un grafico identico a quello che usi per la risoluzioni di sistemi di disequazioni ottieni x compreso tra 2/3 e 2.
Ora risolviamo la disequazione logaritmica:
che equivale a risolvere
dove ho cambiato il verso della disequazione essendo la base compresa tra 0 e 1.
Svolgendo i calcoli ottieni
Cambiamo segno al numeratore e raccogliamo un meno in (2-x) in modo da scriverlo come -(x-2), cambiando due volte i segni, il verso della disequazione non cambia, dunque otteniamo
Studiamo il segno di numeratore e denominatore separatamente.
Il numeratore è somma di un quadrato e un numero positivo, dunque è sempre positivo.
Il denominatore è positivo per x minore di -5 o x maggiore di 2.
Quindi proprio questa è la soluzione della disequazione logaritmica, ma dobbiamo confrontarla con le condizioni di esistenza, che sono date da x compreso tra 2/3 e 2.
Le nostre soluzioni sono al di fuori dell'intervallo determinato dalla condizioni di esistenza, quindi la disequazione non ammette soluzioni!
Risposta di Alpha