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    Risposta di Alpha
  • Benissimo! Eccola qui:

    \log_{\frac{1}{5}}(\frac{3x-2}{x+5})-\log_{\frac{1}{5}}(\frac{3+x}{2-x})<0

    Trovi tutto il procedimento risolutivo nella lezione sulle disequazioni logaritmiche.

    Per prima cosa le condizioni di esistenza: denominatori diversi da zero e argomenti dei logaritmi strettamente positivi!

    x\neq -5

    x\neq 2

    \frac{3x-2}{x+5}>0

    cioè

    3x-2>0

    x>\frac{2}{3}

    e

    x+5>0

    x>-5

    facendo il grafico per le disequazioni fratte ottieni che la fraizone è positiva in

    x<-5

    o

    x>\frac{2}{3}

    Idem per l'argomento del secondo logaritmo, ottieni: x compreso tra -3 e 2.

    Le condizioni di esistenza devono valere contemporaneamente, quindi rappresentandole in un grafico identico a quello che usi per la risoluzioni di sistemi di disequazioni ottieni x compreso tra 2/3 e 2.

    Ora risolviamo la disequazione logaritmica:

    \log_{\frac{1}{5}}(\frac{3x-2}{x+5})<\log_{\frac{1}{5}}(\frac{3+x}{2-x})

    che equivale a risolvere

    \frac{3x-2}{x+5}>\frac{3+x}{2-x}

    dove ho cambiato il verso della disequazione essendo la base compresa tra 0 e 1.

    Svolgendo i calcoli ottieni

    \frac{-4x^2-19}{(x+5)(2-x)}>0

    Cambiamo segno al numeratore e raccogliamo un meno in (2-x) in modo da scriverlo come -(x-2), cambiando due volte i segni, il verso della disequazione non cambia, dunque otteniamo

    \frac{4x^2+19}{(x+5)(x-2)}>0

    Studiamo il segno di numeratore e denominatore separatamente.

    Il numeratore è somma di un quadrato e un numero positivo, dunque è sempre positivo.

    Il denominatore è positivo per x minore di -5 o x maggiore di 2.

    Quindi proprio questa è la soluzione della disequazione logaritmica, ma dobbiamo confrontarla con le condizioni di esistenza, che sono date da x compreso tra 2/3 e 2.

    Le nostre soluzioni sono al di fuori dell'intervallo determinato dalla condizioni di esistenza, quindi la disequazione non ammette soluzioni!

     

     

     

    Risposta di Alpha
 
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