Soluzioni
  • Ciao Povi, ti rispondo subito!

    Risposta di Eka
  • Il concetto di base di uno spazio vettoriale è piuttosto delicato e si può esprimere in due modi:

    1. è la tua definizione;

    2. Si dice base (di uno spazio vettoriale) un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti.

    Tu scrivi:

     

    Ora visto che deve essere un sistema indipendente tutti gli scalari devono essere=0, o sbaglio? Ma se gli scalari sono uguali a zero vuol dire che W, che credo si possa definire base visto che ho ipotizzato sia un sistema di generatori e linearmente indipendente, è costituito dal solo vettore nullo? Ciò mi sembra una cosa assurda perchè una basa è costituita da vettori, almeno così credo.

     

    Il problema è che in un sistema di vettori linearmente indipendenti, gli scalari non devono essere tutti nulli sempre.

    Gli scalari devono essere tutti contemporaneamente nulli quando si verifica la dipendenza (o indipendenza) lineare dei vettori. Vale a dire che, se cerchiamo di scrivere un generico vettore della base come combinazione lineare di altri elementi della base, allora otterremo solo degli scalari nulli (definizione di sistema di generatori!). Questo perchè, come hai giustamente detto, i vettori di una base sono tutti linearmente indipendenti.


    Quando, invece, provi a scrivere un generico elemento dello spazio V (di cui  \mathcal{B} è la base), allora gli scalari usati per la combinazione lineare che esprime il generico vettore in V, non saranno nulli (o almeno non tutti contemporaneamente!) Questa è la proprietà che si dice massimalità degli elementi della base. 

     

    Risulta più chiaro così?

    Risposta di Eka
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