Altezza del cono

Giuseppe Carichino (Galois) -

Come si calcola l'altezza del cono? Potreste dirmi qual è l'altezza di un cono e spiegarmi come se ne può trovare la misura a partire dal volume, dall'area di base e dall'apotema?

Mi sarebbe davvero utile un elenco di tutte le formule con cui si può determinare l'altezza di un cono, e se possibile vorrei che proponeste qualche problema svolto.

Un'ultima domanda: come si calcola la misura dell'altezza di un cono equilatero?

Soluzione

L'altezza del cono è il segmento che unisce il vertice con il centro del cerchio di base e si calcola dividendo il triplo del volume del cono per l'area di base, ossia come h=3V/Sb.

L'altezza di un cono si può definire anche come il cateto del triangolo rettangolo attorno al quale avviene la rotazione che genera il cono.

Altezza cono

Altezza del cono = 3V/Sb.

Formule per l'altezza del cono

Qui di seguito trovi tutte le formule dell'altezza del cono. Abbiamo indicato con h l'altezza, con V il volume, con S_b l'area di base, con r il raggio di base, con a l'apotema del cono e con π la costante Pi Greco (π ≃ 3,14).

Tipo di formula

Formula per l'altezza del cono

Altezza del cono con volume e area di base

h = (3V)/(S_b)

Altezza del cono con volume e raggio di base

h = (3V)/(π r^2)

Altezza del cono con apotema e raggio

h = √(a^2-r^2)

Altezza del cono equilatero

h = √(3)r

Nel formulario sul cono puoi consultare un elenco con tutte le proprietà e tutte le formule di questo solido, comprese le formule inverse dell'altezza.

Esercizi svolti sull'altezza del cono

Risolviamo ora qualche problema sul calcolo dell'altezza del cono e cerchiamo di capire da dove derivano le formule elencate in tabella. In questo modo sarà più facile ricordarle.

Calcolo altezza cono con volume e area di base

Se si conoscono il volume del cono e l'area di base, per calcolare l'altezza del cono si deve dividere il triplo del volume per l'area di base.

h = (3V)/(S_b)

La base del cono è un cerchio, e dovremmo sapere che l'area del cerchio è data dal prodotto tra la costante Pi Greco e il quadrato della misura del raggio

S_b = π r^2

Dalle precedenti formule deduciamo che l'altezza del cono si può determinare anche dividendo il triplo del volume per il prodotto tra Pi Greco e il quadrato del raggio.

h = (3V)/(π r^2)

Esempio sul calcolo dell'altezza del cono con volume e area di base

Il volume di un cono è di 3,75π metri cubi e il diametro del cerchio di base misura 3 metri. Quanto misura l'altezza del cono?

Svolgimento: conosciamo il volume

V = 3,75 π m^3

e la misura del diametro del cerchio alla base del cono

d = 3 m

Il diametro è il doppio del raggio

d = 2r

dunque ricaviamo la misura del raggio del cerchio dividendo per 2 la lunghezza del diametro

r = (d)/(2) = (3 m)/(2) = 1,5 m

Abbiamo così tutto quello che serve per l'altezza del cono:

 h = (3V)/(π r^2) = (3×(3,75 π m^3))/(π×(1,5 m)^2) = (11,25 π m^3)/(2,25 π m^2) = 5 m

Calcolo altezza cono con apotema e raggio

Raggio di base, apotema e altezza del cono sono i lati di un triangolo rettangolo: l'apotema è l'ipotenusa, mentre raggio di base e altezza sono i cateti.

Di conseguenza per trovare l'altezza del cono conoscendo raggio di base e apotema si applica il teorema di Pitagora, e quindi si estrae la radice quadrata della differenza tra il quadrato della misura dell'apotema e il quadrato della misura del raggio.

h = √(a^2-r^2)

Esempio sul calcolo dell'altezza del cono con apotema e raggio

L'apotema di un cono misura 13 cm. Calcolare la misura dell'altezza sapendo che il perimetro del cerchio di base è di 10π cm.

Svolgimento: trascriviamo i dati

 a = 13 cm ; 2p = 10 π cm

Determiniamo la misura del raggio di base invertendo la formula del perimetro del cerchio

2p = 2π r → r = (2p)/(2π) = (10 π cm)/(2π) = 5 cm

e calcoliamo la misura dell'altezza del cono con il teorema di Pitagora

 h = √(a^2-r^2) = √((13 cm)^2-(5 cm)^2) = √((169 cm^2)-(25 cm^2)) = √(144 cm^2) = 12 cm

Calcolo altezza cono equilatero

In un cono equilatero l'apotema è congruente al diametro di base, e quindi al doppio del raggio, ossia

a = 2r

Sostituiamo nella formula per l'altezza del cono con apotema e raggio:

h = √(a^2-r^2) = √((2r)^2-r^2) =

Svolgiamo i calcoli sotto radice

= √(4r^2-r^2) = √(3r^2) =

e portiamo fuori dal segno di radice r^2 (essendo r una quantità positiva possiamo omettere il valore assoluto)

= √(3)r

In definitiva l'altezza di un cono equilatero si calcola moltiplicando la misura del raggio per la radice di 3.

h = √(3) r

Esempio sul calcolo dell'altezza del cono equilatero

La lunghezza della circonferenza alla base di un cono equilatero è di 8π dm. Quanto misura l'altezza del cono?

Svolgimento: indichiamo con 2p la lunghezza della circonferenza. Sappiamo che

2p = 8π dm

Poiché il cono è equilatero, per calcolarne l'altezza ci basta la misura del raggio di base, che possiamo ricavare dividendo la lunghezza della circonferenza per 2π

r = (2p)/(2π) = (8π dm)/(2 π) = 4 dm

Troviamo infine l'altezza del cono equilatero moltiplicando la radice quadrata di 3 per la misura del raggio

h = √(3) r = √(3)×(4 dm) = 4√(3) dm ≃ 6,9 dm

***

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