Altezza del cono

L'altezza del cono è il segmento che unisce il vertice con il centro del cerchio di base e si calcola dividendo il triplo del volume del cono per l'area di base, ossia come h=3V/S_b.

L'altezza di un cono si può definire anche come il cateto del triangolo rettangolo attorno al quale avviene la rotazione che genera il cono.

Altezza del cono = 3V/S_b.

Formule per l'altezza del cono

Qui di seguito trovi tutte le formule dell'altezza del cono. Abbiamo indicato con l'altezza, con il volume, con l'area di base, con il raggio di base, con l'apotema del cono e con la costante Pi Greco .

Nel formulario sul cono puoi consultare un elenco con tutte le proprietà e tutte le formule di questo solido, comprese le formule inverse dell'altezza.

Esercizi svolti sull'altezza del cono

Risolviamo ora qualche problema sul calcolo dell'altezza del cono e cerchiamo di capire da dove derivano le formule elencate in tabella. In questo modo sarà più facile ricordarle.

Calcolo altezza cono con volume e area di base

Se si conoscono il volume del cono e l'area di base, per calcolare l'altezza del cono si deve dividere il triplo del volume per l'area di base.

La base del cono è un cerchio, e dovremmo sapere che l'area del cerchio è data dal prodotto tra la costante Pi Greco e il quadrato della misura del raggio

Dalle precedenti formule deduciamo che l'altezza del cono si può determinare anche dividendo il triplo del volume per il prodotto tra Pi Greco e il quadrato del raggio.

Esempio sul calcolo dell'altezza del cono con volume e area di base

Il volume di un cono è di 3,75π metri cubi e il diametro del cerchio di base misura 3 metri. Quanto misura l'altezza del cono?

Svolgimento: conosciamo il volume

e la misura del diametro del cerchio alla base del cono

Il diametro è il doppio del raggio

dunque ricaviamo la misura del raggio del cerchio dividendo per 2 la lunghezza del diametro

Abbiamo così tutto quello che serve per l'altezza del cono:

Calcolo altezza cono con apotema e raggio

Raggio di base, apotema e altezza del cono sono i lati di un triangolo rettangolo: l'apotema è l'ipotenusa, mentre raggio di base e altezza sono i cateti.

Di conseguenza per trovare l'altezza del cono conoscendo raggio di base e apotema si applica il teorema di Pitagora, e quindi si estrae la radice quadrata della differenza tra il quadrato della misura dell'apotema e il quadrato della misura del raggio.

Esempio sul calcolo dell'altezza del cono con apotema e raggio

L'apotema di un cono misura 13 cm. Calcolare la misura dell'altezza sapendo che il perimetro del cerchio di base è di 10π cm.

Svolgimento: trascriviamo i dati

Determiniamo la misura del raggio di base invertendo la formula del perimetro del cerchio

e calcoliamo la misura dell'altezza del cono con il teorema di Pitagora

Calcolo altezza cono equilatero

In un cono equilatero l'apotema è congruente al diametro di base, e quindi al doppio del raggio, ossia

Sostituiamo nella formula per l'altezza del cono con apotema e raggio:

Svolgiamo i calcoli sotto radice

e portiamo fuori dal segno di radice (essendo una quantità positiva possiamo omettere il valore assoluto)

In definitiva l'altezza di un cono equilatero si calcola moltiplicando la misura del raggio per la radice di 3.

Esempio sul calcolo dell'altezza del cono equilatero

La lunghezza della circonferenza alla base di un cono equilatero è di 8π dm. Quanto misura l'altezza del cono?

Svolgimento: indichiamo con la lunghezza della circonferenza. Sappiamo che

Poiché il cono è equilatero, per calcolarne l'altezza ci basta la misura del raggio di base, che possiamo ricavare dividendo la lunghezza della circonferenza per 2π

Troviamo infine l'altezza del cono equilatero moltiplicando la radice quadrata di 3 per la misura del raggio

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