19 è un numero primo perché è un numero naturale maggiore di 1 ed è divisibile solo per 1 e per se stesso. Ricordiamo infatti che i numeri primi sono tutti e soli i numeri interi maggiori di 1 che ammettono come unici divisori 1 e se stessi.
Per completezza ecco l'elenco di tutti i numeri primi compresi tra 1 e 100, da cui è evidente che 19 è l'ottavo numero primo e che, nella sequenza, segue il 17 e precede il 23:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Come stabilire se 19 è un numero primo
Se il numero considerato è piccolo, come nel caso di 19, per stabilire se è primo oppure composto basta controllare se è divisibile per almeno uno dei numeri primi che lo precedono. Se esiste un primo che lo divide, allora è un numero composto; in caso contrario è un numero primo.
In realtà non serve effettuare il controllo per tutti i primi che precedono il numero, bensì basta considerare quelli compresi tra 2 e il numero primo maggiore della sua metà, estremi inclusi.
Per effettuare la verifica possiamo usare i criteri di divisibilità e/o le tabelline.
Concentriamoci sul numero 19. La sua metà è 9,5 e il numero primo successivo a 9,5 è 11.
Controlliamo allora se 19 è divisibile per almeno uno tra 2, 3, 5, 7, 11.
• Controllo della divisibilità per 2
Un numero è divisibile per 2 se la sua cifra delle unità è 0, 2, 4, 6, oppure 8.
La cifra delle unità di 19 è 9, quindi non è divisibile per 2.
• Controllo della divisibilità per 3
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3.
La somma delle cifre di 19 è 10 (1+9=10), che non è un multiplo di 3, pertanto 19 non è divisibile per 3.
• Controllo della divisibilità per 5
Un numero è divisibile per 5 se la sua cifra delle unità è 0 oppure 5.
La cifra delle unità di 19 non è né 0 né 5, di conseguenza non è divisibile per 5.
• Controllo della divisibilità per 7
Un numero è divisibile per 7 se il valore assoluto della differenza tra il numero scritto senza la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7, oppure un multiplo di 7.
Consideriamo il numero 19. Il numero scritto senza la cifra delle unità è 1, mentre il doppio della cifra delle unità è 18. Il valore assoluto della loro differenza è 17
che non è un multiplo di 7, per cui 19 non è divisibile per 7.
Se non ricordi il criterio di divisibilità per 7, puoi controllare se 19 è divisibile per 7 consultando la tabellina del 7: se il 19 è presente tra i risultati allora è divisibile per 7, in caso contrario non lo è. Poiché
19 non è divisibile per 7.
• Controllo della divisibilità per 11
Un numero è divisibile per 11 se il valore assoluto della differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è uguale a 0, a 11, oppure a un multiplo di 11.
Nel numero 19 abbiamo una cifra di posto pari, che è 9, e una cifra di posto dispari, che è 1.
Il valore assoluto della loro differenza è 8
che non è né 0, né 11, né un multiplo di 11; di conseguenza 19 non è divisibile per 11.
Anche in questo caso, se non ricordi il criterio di divisibilità per 11 ti basta consultare la tabellina dell'11 alla ricerca del numero 19. Poiché
19 non è divisibile per 11.
Poiché nessuno dei numeri primi che abbiamo passato in rassegna divide 19 possiamo concludere che 19 è un numero primo.
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Il metodo che abbiamo usato, per quanto possa apparire semplice, diventa quasi impossibile da applicare per un numero molto grande (da 3 cifre in su). Dovremmo infatti conoscere buona parte dei primi che lo precedono e avremmo molti controlli da effettuare.
In casi del genere non abbiamo vie d'uscita, e per capire se il numero considerato è primo dobbiamo necessariamente usare uno tra:
- le tabelle di numeri primi;
- il tool per il controllo dei primi online.
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