Soluzioni
  • Cos(120°) indica il coseno di 120 gradi e vale -1/2. Si può calcolare con le formule di addizione e sottrazione del coseno oppure, o molto più velocemente con le formule sugli archi associati.

    Quale che sia il metodo scelto il risultato è sempre lo stesso: il coseno di 120° è uguale a -1/2

    \cos(120^{\circ})=-\frac{1}{2}

    Prima di proseguire è bene specificare che in Trigonometria è preferibile esprimere gli angoli in radianti, anziché in gradi.

    Applicando la formula di conversione da gradi a radianti ricaviamo che 120 gradi equivalgono a due terzi Pi Greco radianti

    120^{\circ} \to \frac{2}{3} \pi

    Da ciò deduciamo che parlare di coseno di 120 gradi oppure di coseno di due terzi pigreco è lo stesso, dunque anche il coseno di due terzi pigreco vale -1/2

    \cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)=\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}

    Calcolo di cos(120°) con le formule sugli archi associati

    Partiamo da quello che riteniamo essere il metodo più semplice e vediamo come si calcola il coseno di 120 gradi con le formule degli angoli associati.

    Scriviamo 120° come differenza tra 180° e 60°

    120^{\circ}=180^{\circ}-60^{\circ}

    e usiamo la formula sugli archi associati

    \cos\left(180^{\circ} - \alpha\right) = -\cos(\alpha)

    in cui ci basta sostituire \alpha con 60°

    \cos(120^{\circ})=\cos(180^{\circ}-60^{\circ})=-\cos(60^{\circ})=

    e ricordare che il coseno di 60 gradi è uguale a 1/2

    =-\frac{1}{2}

    In alternativa possiamo scrivere 120° come somma tra 90° e 30°

    120^{\circ}=90^{\circ}+30^{\circ}

    e usare un'altra formula per gli archi associati

    \cos\left(90^{\circ} + \alpha\right) = -\sin(\alpha)

    in cui sostituiamo \alpha con 30°

    \cos(120^{\circ}) = \cos\left(90^{\circ} + 30^{\circ}\right) = -\sin(30^{\circ})=

    Non resta che ricordare che il seno di 30 gradi è uguale a 1/2

    =-\frac{1}{2}

    Quale che sia la formula scelta, si ottiene che cos(120°) è uguale a -1/2

    \cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}

    Calcolo del coseno di 120° con la formula di addizione del coseno

    Dalla formula di addizione del coseno è noto che

    \cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)

    Per trovare il valore di cos(120°) scriviamo 120° come somma tra 90° e 30°

    120^{\circ} = 90^{\circ} + 30^{\circ}

    e usiamo la formula per il coseno della somma, in cui sostituiamo \alpha con 90° e \beta con 30°

    \\ \cos(120^{\circ}) = \cos(90^{\circ}+30^{\circ}) = \\ \\ = \cos(90^{\circ})\cos(30^{\circ}) - \sin(90^{\circ})\sin(30^{\circ})=

    Questa espressione contiene solo valori notevoli delle funzioni goniometriche che dovrebbero essere noti

    =0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}

    Calcolo del coseno di 120° con la formula di sottrazione del coseno

    L'ultimo metodo che proponiamo consiste nello scrivere 120° come differenza tra 180° e 60°

    120^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ}

    e successivamente usare la formula di sottrazione del coseno

    \cos(\alpha-\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)

    in cui sostituiamo \alpha con 180° e \beta con 60°

    \\ \cos(120^{\circ}) = \cos(180^{\circ}-60^{\circ}) = \\ \\ = \cos(180^{\circ})\cos(60^{\circ}) + \sin(180^{\circ})\sin(60^{\circ})= \\ \\ = -1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2}

    ***

    Se ti occorre una tabella di riepilogo sui valori notevoli delle funzioni goniometriche - click!

    Se invece vuoi vedere come si calcola il seno di 120 gradi - click!

    Risposta di Galois
 
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