2^x=1

2^x=1 è un'equazione esponenziale determinata, che ammette come unica soluzione x=0 e che si può risolvere algebricamente oppure con il metodo grafico.

Risolvere l'equazione 2^x=1 per via algebrica

2^x=1 è un'equazione esponenziale elementare, infatti si presenta nella forma

Poiché nel nostro caso è b>0, l'equazione 2^x=1 è determinata. Per trovarne le soluzioni basta esprimere b=1 sotto forma di potenza di 2 e successivamente uguagliare gli esponenti.

Poiché qualsiasi potenza con base diversa da zero ed esponente nullo è uguale a 1, conviene scrivere 1 come potenza con esponente zero e base 2:

Ci siamo! La soluzione dell'equazione esponenziale 2^x=1 è x=0.

Risolvere l'equazione 2^x=1 con il metodo grafico

Per risolvere graficamente l'equazione esponenziale 2^x=1 si deve considerare il sistema di equazioni equivalente

per poi tracciare il grafico della funzione y=2^x e disegnare la retta y=1 nel piano cartesiano.

L'ascissa del punto di intersezione tra il grafico della funzione esponenziale y=2^x e la retta di equazione y=1 è la soluzione dell'equazione esponenziale 2^x=1.

Procediamo!

Per disegnare la retta y=1 basta osservare che si tratta di una retta parallela all'asse delle ascisse e passante per il punto P(0,1).

Per tracciare il grafico della funzione y=2^x possiamo effettuare uno studio di funzione completo oppure ricordare l'andamento generale delle funzioni esponenziali con base maggiore di 1.

Nella seconda eventualità dovremmo sapere che y=2^x è una funzione il cui grafico:

- giace nel semipiano delle ordinate positive;

- interseca l'asse delle ordinate nel punto P(0,1);

- ha come asintoto orizzontale sinistro l'asse delle ascisse;

- è una funzione crescente.

Queste considerazioni sono più che sufficienti per concludere che la retta interseca il grafico nel punto P(0,1), e dunque che l'unica soluzione dell'equazione è x=0.

Se vogliamo proseguire e arrivare a una rappresentazione grafica approssimativa possiamo individuare le coordinate cartesiane di tre punti del grafico della funzione: assegniamo tre valori alla variabile x e calcoliamo i corrispondenti valori di y.

Per x=1 si ottiene y=2

Per x=2 si ricava y=4

Infine, per x=3 si ottiene y=8

In definitiva, tre punti che appartengono al grafico della funzione y=2^x sono

Siamo pronti per fornire una rappresentazione indicativa del grafico e della retta:

Risoluzione grafica dell'equazione esponenziale 2^x=1.

La funzione esponenziale y=2^x e la retta y=1 si intersecano nel punto P(0,1), la cui ascissa è x_P=0, dunque l'equazione 2^x=1 ammette come unica soluzione x=0.

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Per concludere ti consigliamo la lettura della lezione sulle equazioni esponenziali, dove puoi fare un ripasso di tutti i metodi risolutivi.