Soluzioni
  • L'integrale di x/2 è uguale al quadrato di x fratto 4 più una costante arbitraria. Per calcolarlo basta usare opportunamente le proprietà degli integrali in modo da ricondurci a un integrale notevole.

    Tra un attimo saremo più precisi e mostreremo tutti i passaggi, ma intanto ecco il risultato:

    \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{4} + c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    Calcolo dell'integrale di x/2

    \int \frac{x}{2} dx=

    Scriviamo la funzione integranda come prodotto tra la costante \frac{1}{2} e la funzione f(x)=x

    =\int \left(\frac{1}{2} \cdot x \right) dx =

    Applichiamo la proprietà di omogeneità dell'integrale, secondo cui l'integrale del prodotto tra una costante e una funzione è uguale al prodotto tra la costante e l'integrale della funzione

    =\frac{1}{2} \int x dx

    Per calcolare l'integrale di x consideriamo la funzione

    f(x)=x

    e pensiamola come funzione potenza con esponente 1

    f(x)=x^n \ \ \mbox{ con } n=1

    L'integrale di x^n è un integrale notevole e, se n \neq -1, vale

    \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+k, \ \ k \in \mathbb{R}, \ n \neq -1

    Nel nostro caso n=1, pertanto sostituendo nella precedente formula

    \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1}+k = \frac{x^2}{2}+k, \ \ \ k \in \mathbb{R}

    Ricapitolando:

    \int \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int x dx = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{x^2}{2} + k\right) = \frac{x^2}{4} + \frac{k}{2}=

    Ribattezziamo la costante additiva e poniamo \frac{k}{2}=c

    =\frac{x^2}{4}+c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    Abbiamo finito! L'integrale indefinito di x/2 è uguale al quadrato di x fratto 4, più una costante arbitraria.

    ***

    Non abbiamo altro da aggiungere, se non consigliarti:

    - un ripasso sugli integrali fondamentali;

    - l'utilizzo del tool sugli integrali indefiniti online, con cui puoi verificare la correttezza degli esercizi di cui non conosci i risultati.

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Analisi Matematica