(x+y)^3 e (x-y)^3

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Vorrei sapere cosa sono e come si sviluppano (x+y)^3 e (x-y)^3. Se non sbaglio dovrebbero essere due cubi di binomio, ma applicando la regola per lo sviluppo del cubo di binomio non mi trovo con i risultati del libro.

 

Oltre a scrivere gli sviluppi di (x-y)^3 e di (x+y)^3 potreste dirmi qual è la regola generale e spiegarmi come si applica, mostrando tutti i passaggi? Esiste qualche piccolo trucco che permette di non fare confusione con i segni?

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • (x+y)^3 e (x-y)^3 sono due cubi di binomio, infatti (x+y)^3 è il cubo del binomio (x+y) mentre (x-y)^3 è il cubo del binomio (x-y).

    Lo sviluppo di (x+y)^3 e quello di (x-y)^3 si ottengono usando la regola per lo sviluppo del cubo di binomio, e sono i seguenti:

    (x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 ; (x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^2-y^3

    In generale, dati due qualsiasi monomi A e B, il cubo del binomio (A+B) è uguale al cubo del primo monomio, più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo.

    In una formula:

    (A+B)^3 = A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

    Uno tra gli errori più frequenti è quello di sbagliare i segni dei termini dello sviluppo. L'unico modo per non commettere errori di segno è quello di considerare i monomi che compongono il binomio di partenza con i segni da cui sono preceduti, e quindi calcolare:

    • il cubo del primo monomio;

    • il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo;

    • il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo;

    • il cubo del secondo monomio.

    La loro somma è lo sviluppo del cubo di binomio considerato.

    Mettiamo in pratica il procedimento e calcoliamo gli sviluppi di (x+y)^3 e di (x-y)^3.

    Sviluppo del cubo di binomio (x+y)^3

    I monomi da cui partire per calcolare lo sviluppo di (x+y)^3 sono

    +x ; +y

    - Il cubo del primo monomio è x^3

    (+x)^3 = x^3

    - Il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo è 3x^2y

    3·(+x)^2·(+y) = 3x^2y

    - Il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo è 3xy^2

    3·(+x)·(+y)^2 = 3xy^2

    - Il cubo del secondo monomio è y^3

    (+y)^3 = y^3

    Dalla somma di tali termini si ricava lo sviluppo di (x+y)^3:

    (x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3

    Sviluppo del cubo di binomio (x-y)^3

    Per calcolare lo sviluppo di (x-y)^3 consideriamo i monomi:

    +x ; -y

    - Il cubo del primo monomio è x^3

    (+x)^3 = x^3

    - Il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo è -3x^2y

    3·(+x)^2·(-y) = -3x^2y

    - Il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo è 3xy^2

    3·(+x)·(-y)^2 = 3xy^2

    - Il cubo del secondo monomio è -y^3

    (-y)^3 = -y^3

    La somma di tali termini è lo sviluppo di (x-y)^3

    (x-y)^3 = x^3+(-3x^2y)+3xy^2+(-y^3) =

    e per la regola dei segni

    = x^3-3x^2y+3xy^3-y^3

    In definitiva:

    (x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^3-y^3

    ***

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    Risposta di Galois
 
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