Soluzioni
  • La somma di logaritmi si calcola in modi differenti a seconda che i logaritmi da sommare abbiano la stessa base oppure basi diverse. Un caso particolare di somma tra logaritmi è quella tra un numero e un logaritmo, che con un semplice passaggio si riconduce alla somma di logaritmi con la stessa base.

    Vediamo come si procede a seconda dei casi.

    Somma di logaritmi con la stessa base

    La somma di logaritmi con la stessa base è un logaritmo che ha per base la stessa base e per argomento il prodotto degli argomenti. In una formula:

    \log_a(b)+\log_a(c)=\log_a(b \cdot c) \ \ \mbox{ con } a,b,c>0 \mbox{ e } a \neq 1

    Tale proprietà si estende anche al caso della somma di tre o più logaritmi: l'importante è che abbiano tutti la stessa base.

    Per i meno esperti la regola sulla somma di logaritmi con la stessa base potrebbe sembrare qualcosa di nuovo, ma è una semplice rilettura della proprietà del logaritmo di un prodotto, che dovresti già conoscere e aver dimostrato.

    Ricordiamo infatti che il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi

    \log_a(b \cdot c) = \log_a(b)+\log_a(c) \ \ \mbox{ con } a,b,c>0 \mbox{ e } a \neq 1

    Se la leggiamo all'inverso, ossia scambiamo il primo con il secondo membro, otteniamo proprio la regola sulla somma di logaritmi con la stessa base.

    Esempi di somme tra logaritmi con la stessa base

    \log_{15}(3)+\log_{15}(5)

    I logaritmi hanno la stessa base, dunque la loro somma è un logaritmo in base 15 che ha come argomento il prodotto degli argomenti

    \log_{15}(3)+\log_{15}(5) = \log_{15}(3 \times 5)=\log_{15}(15)=

    in accordo con la definizione di logaritmo:

    =1

    Vediamo un altro esempio

    \log_2(3) + \log_2(6) + \log_2\left(\frac{16}{9}\right)

    Non facciamo spaventare dalla frazione. Poiché i logaritmi da sommare hanno la stessa base, la loro somma è un logaritmo in base 2 che ha come argomento il prodotto degli argomenti:

    \log_2(3) + \log_2(6) + \log_2\left(\frac{16}{9}\right) = \log_2\left(3 \cdot 6 \cdot \frac{16}{9}\right)=

    Svolgiamo la moltiplicazione

    =\log_2(32)=

    Scriviamo 32 sotto forma di potenza di 2

    =\log_2(2^5)=

    e infine, per la proprietà del logaritmo di una potenza, otteniamo:

    =5 \cdot \log_2(2) = 5 \cdot 1 = 5

    Somma di logaritmi con basi diverse

    Se i logaritmi da sommare hanno basi diverse basta ricondurli tutti alla stessa base, così da ricadere nel caso della somma di logaritmi con base uguale. A tal proposito si ricorre alla formula del cambiamento di base:

    \log_a(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \ \ \mbox{ con } a,b,c>0 \mbox{ e } a,c \neq 1

    Esempi di somme tra logaritmi con basi diverse

    \log_4(9)+\log_2\left(\frac{2}{3}\right)

    I logaritmi hanno base diversa, per cui dobbiamo riscriverli nella stessa base. Poiché 4 è una potenza di 2, scegliamo di esprimere \log_4(9) in base 2. Applichiamo la formula del cambiamento di base

    \log_4(9)=\frac{\log_2(9)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(9)}{2}=\frac{1}{2}\log_2(9)=

    Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza:

    =\log_2\left(9^{\tfrac{1}{2}}\right)=

    Per com'è definita una potenza con esponente frazionario

    =\log_2(\sqrt{9})=\log_2(3)

    In definitiva, se torniamo alla somma di partenza

    \log_4(9)+\log_2\left(\frac{2}{3}\right) = \log_2(3)+\log_2\left(\frac{2}{3}\right)=

    ci siamo ricondotti alla somma di logaritmi con la stessa base, e sappiamo come procedere:

    =\log_2\left(3 \cdot \frac{2}{3}\right) = \log_2(2)=1

    In conclusione:

    \log_4(9)+\log_2\left(\frac{2}{3}\right)=1

    Vediamo un altro esempio

    \log_3(6)+\log_9(4)+\log_3\left(\frac{1}{12}\right)

    Esprimiamo \log_9(4) in base 3 con la formula del cambiamento di base

    \log_9(4)=\frac{\log_3(4)}{\log_3(9)}=

    Calcoliamo il logaritmo a denominatore

    =\frac{\log_3(4)}{2}=\frac{1}{2}\log_3(4)=

    e procediamo come nell'esempio precedente

    =\log_3\left(4^{\tfrac{1}{2}}\right)=\log_3(\sqrt{4}) = \log_3(2)

    Riscriviamo la somma iniziale come somma tra logaritmi con la stessa base

    \log_3(6)+\log_9(4)+\log_3\left(\frac{1}{12}\right)=\\ \\ \\ =\log_3(6)+\log_3(2)+\log_3\left(\frac{1}{12}\right)=

    e calcoliamola

    =\log_3\left(6 \cdot 2 \cdot \frac{1}{12}\right) = \log_3(1)=0

    Ricordiamo infatti che il logaritmo di 1 è zero, indipendentemente dalla base.

    Somma di un numero e un logaritmo

    Per calcolare la somma tra un qualsiasi numero c \in \mathbb{R} e un logaritmo in base a è sufficiente scrivere il numero sotto forma di logaritmo in base a usando la seguente regola (che discende dalle proprietà e dalla definizione di logaritmo)

    c=\log_a(a^c) \ \ \mbox{ con } a>0, \ a\neq 1

    e quindi procedere come nel caso della somma di logaritmi con la stessa base.

    Esempio di somma tra numero e logaritmi

    2+\log_5(3)+\log_5\left(\frac{5}{3}\right)

    Scriviamo 2 sotto forma di logaritmo in base 5

    2=\log_5(5^2) = \log_5(25)

    per cui

    2+\log_5(3)+\log_5\left(\frac{5}{3}\right)=\\ \\ \\ =\log_5(25)+\log_5(3)+\log_5\left(\frac{5}{3}\right)=

    A questo punto i logaritmi hanno la stessa base, per cui:

    =\log_5\left(25 \cdot 3 \cdot \frac{5}{3}\right) = \log_5(125) = \log_5(5^3) = 3

    ***

    Per concludere ti consigliamo di leggere:

    - la lezione di riepilogo sulle proprietà dei logaritmi;

    - la scheda di esercizi sulle proprietà dei logaritmi, dove troverai altri esercizi sulla somma.

    Risposta di Galois
 
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