Soluzioni
  • Ciao giacomo22, come da regolamento risolviamo un esercizio per ogni domanda, aprine un'altra contenente il secondo esercizio, e, sempre per cortesia, sii specifico nei titoli, in modo che anche altri utenti possano trovare le tue domande, ad esempio potresti intitolare la tua seconda domanda Studio della continuità di sin(1/x)...

     

    Grazie, ora rispondo subito alla tua prima domanda!

    Risposta di Alpha
  • ok, provvedo subito

    Risposta di giacomo22
  • Una funzione è continua in un punto x0 se

     

    \forall \varepsilon>0 \exists \delta=\delta(\varepsilon) \colon |x-x_0|<\delta

    allora

    |f(x)-f(x_0)|<\delta

     

    Ora la funzione signum vale costantemente 1 se x è positivo e costantemente -1 quando questo è negativo, quindi δ, una volta fissato x0 deve essere tale che 0<δ0, altrimenti incontreremmo la discontinuità in 0.

    Per mostrare che la funzione è discontinua in 0 è sufficiente calcolare il limite sinistro e destro della funzione per x tendente a 0, cioè calcolare

     

    \lim_{x\to 0^-}\mbox{sgn}(x)

    e

     

    \lim_{x\to 0^+}\mbox{sgn}(x)

     

    che valgono rispettivamente -1 e +1. Sappiamo che una funzione è continua in un punto se il limite destro e sinistro coincidono. Quindi la funzione sgn(x) è discontinua in 0.

    Risposta di Alpha
  • Ho capito la discontinuità, ma non ho ben presente perchè δ una volta fissato x0 deve essere tale che 0<δ0, altrimenti incontreremmo la discontinuità

    Risposta di giacomo22
  • Un errore di battitura, credo. Alpha intendeva dire che 

    \delta<x_{0}

    perchè in caso contrario potresti finire col prendere una x che supera lo zero, da sinistra o da destra, a seconda di dove si trova x0.

    Qui trovi il grafico della funzione segno.

    Risposta di Omega
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