Soluzioni
  • I multipli di 72 sono tutti e soli i numeri interi divisibili per 72, come ad esempio 0, 72, 144, 216, 288, 360, 432, 504, 576, 648, 720. Più esplicitamente i multipli di 72 sono lo zero e tutti i numeri interi, positivi e negativi, tali che la divisione tra ciascuno di essi e 72 è uguale a zero.

    Ad esempio 144 è un multiplo di 72, infatti

    144:72 = 2 \ \mbox{ resto } 0

    Al contrario 218 non è un multiplo di 72, in quanto

    218:72 = 3 \ \mbox{ resto } 2

    Riguardo al calcolo dei multipli di 72, essi si ottengono moltiplicando 72 per ciascuno dei numeri interi relativi, che sono i numeri interi preceduti dal segno più o dal segno meno, incluso lo zero. Da ciò segue che i multipli di 72 sono infiniti, ma possiamo comunque calcolarne qualcuno.

    Ad esempio:

    - alcuni multipli non negativi di 72 sono:

    0, 72, 144, 216, 288, 360, 432, 504, 576, 648, 720

    e si ottengono moltiplicando 72 per i numeri naturali compresi tra 0 e 10.

    - Alcuni multipli negativi di 72 sono:

    -72, -144, -216, -288, -360, -432, -504, -576, -648, -720

    e si ottengono moltiplicando 72 per i numeri interi negativi compresi tra -1 e -10.

    Se è la prima volta che vedi numeri preceduti dal segno meno, non preoccuparti; significa semplicemente che non hai ancora studiato l'insieme Z dei numeri interi relativi, ma lo farai presto. Per il momento puoi limitarti a considerare solo i multipli non negativi di 72, dati dal prodotto tra 72 e i numeri naturali.

    Come stabilire se un numero è un multiplo di 72

    Per stabilire se un numero è un multiplo di 72 basta calcolare il quoziente e il resto della divisione tra il numero considerato e 72, e controllare il resto:

    - se è zero, allora il numero è un multiplo di 72;

    - se è diverso zero, allora il numero non è un multiplo di 72.

    Facciamo un esempio e stabiliamo quali tra 72, 362, 504, 654 e 792 sono multipli di 72.

    Calcoliamo le rispettive divisioni per 72:

    \\ 72:72 = 1 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 362:72 = 5 \ \mbox{ resto } 2 \\ \\ 504:72=7 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 654:72 = 9 \ \mbox{ resto } 6 \\ \\ 792:72=11 \ \mbox{ resto } 0

    Tra i numeri considerati i multipli di 72 sono 72, 504 e 792, perché i resti delle loro divisioni per 72 sono nulli.

    Multipli di 72 con la scomposizione in fattori primi

    Un altro metodo con cui stabilire se un numero è un multiplo di 72 prevede di scomporre in fattori primi il numero da controllare e di analizzare i suoi fattori. Vediamo come si procede.

    Innanzitutto osserviamo che

    72 = 2^3 \times 3^2

    dunque un numero è un multiplo di 72 se e solo se tra i fattori della sua scomposizione in primi compaiono contemporaneamente:

    - il 2 con esponente maggiore o uguale a 3;

    - il 3 con esponente maggiore o uguale a 2.

    Se il numero da controllare è negativo basta considerare il suo opposto, che è positivo e quindi scomponibile in fattori primi.

    Alcuni esempi:

    • 504 e 720 sono multipli di 72 perché nelle rispettive fattorizzazioni troviamo sia il 2 con esponente maggiore-uguale a 3, sia il 3 con esponente maggiore-uguale a 2:

    504=2^3 \times 3^2 \times 7 \\ \\ 720= 2^4 \times 3^2 \times 5

    • 120 e 252 non sono multipli di 72, infatti:

    \\ 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \\ \\ 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7

    ***

    Ci congediamo con un paio di spunti di approfondimento:

    - scomposizione in fattori primi online - un tool con cui verificare i risultati delle fattorizzazioni;

    - multipli, sottomultipli e divisori - una lezione per i ragazzi di scuola media.

    Risposta di Galois
 
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