Soluzioni
  • L'addizione tra frazioni è un'addizione in cui gli addendi sono frazioni, e si calcola in modi differenti a seconda che le frazioni da addizionare abbiano lo stesso denominatore oppure denominatori diversi.

    Un caso particolare di addizione tra frazioni è l'addizione tra frazioni e numeri interi, che con un semplice passaggio si riconducono a un'addizioni tra frazioni con denominatori diversi.

    Ecco qualche esempio di addizioni con le frazioni:

    \frac{1}{2}+\frac{5}{2} è un'addizione tra frazioni con lo stesso denominatore;

    \frac{3}{4}+\frac{7}{3}+\frac{1}{8} è un'addizione tra frazioni con denominatori diversi;

    3+\frac{5}{7} è un'addizione tra un numero intero e una frazione.

    Vediamo come si procede a seconda dei casi, ma prima ricordiamo che il risultato di un'addizione tra frazioni prende il nome di somma di frazioni o, più semplicemente, di somma.

    Addizioni tra frazioni con lo stesso denominatore

    Il risultato dell'addizione tra due o più frazioni con lo stesso denominatore è una frazione che ha come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori.

    Dopo aver svolto l'addizione, la somma va sempre ridotta ai minimi termini.

    Esempi di addizioni tra frazioni con lo stesso denominatore

    1) \frac{2}{3}+\frac{5}{3}

    Le due frazioni hanno lo stesso denominatore (3), dunque la loro somma è una frazione che ha come denominatore 3 e come numeratore la somma dei numeratori

    2+5 = 7

    In definitiva

    \frac{2}{3}+\frac{5}{3}=\frac{7}{3}

    2) \frac{3}{2}+\frac{5}{2}+\frac{7}{2}

    Questa volta scriviamo direttamente una frazione che ha come denominatore il denominatore comune (2) e come numeratore l'addizione tra i numeratori delle singole frazioni

    \frac{3}{2}+\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=\frac{3+5+7}{2} =

    calcoliamo la somma a numeratore e abbiamo finito

    =\frac{15}{2}

    3) \frac{8}{15}+\frac{7}{15}+\frac{5}{15}

    Ormai sappiamo come procedere:

    \frac{8}{15}+\frac{7}{15}+\frac{5}{15} = \frac{8+7+5}{15} = \frac{20}{15}=

    Ci siamo quasi. Osserviamo che numeratore e denominatore sono numeri divisibili per 5, dunque riduciamo la frazione somma ai minimi termini dividendo entrambi i termini della frazione per 5

    =\frac{4}{3}

    Addizioni tra frazioni con denominatore diverso

    Per addizionare due o più frazioni con denominatore diverso dobbiamo ridurre tutte le frazioni al denominatore comune, ossia calcolare il minimo comune denominatore, e sostituirle con le rispettive frazioni equivalenti che hanno come denominatore il minimo comun denominatore.

    In questo modo ci riduciamo ad avere frazioni con lo stesso denominatore, che già sappiamo come addizionare.

    In altre parole l'addizione tra frazioni con denominatore diverso restituisce una frazione che ha:

    - per denominatore il minimo comune multiplo (mcm) tra i denominatori;

    - per numeratore la somma dei numeratori delle frazioni equivalenti.

    Ci rendiamo conto che il metodo spiegato a parole potrebbe sembrare difficile, ma con qualche esempio risulterà tutto più chiaro.

    Esempio di addizione tra frazioni con denominatori diversi

    \frac{3}{4}+\frac{5}{6}

    Le due frazioni hanno denominatori diversi. Calcoliamo il denominatore comune, che altro non è se non il minimo comune multiplo tra i denominatori.

    Per farlo scomponiamo in fattori primi i denominatori

    \\ 4=2^2 \\ \\ 6=2 \times 3

    e moltiplichiamo tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con l'esponente maggiore

    \mbox{mcm}(4,6)=2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12

    Il passo successivo è calcolare le frazioni equivalenti in modo che abbiano 12 come denominatore.

    Partiamo dalla prima: \frac{3}{4}

    La frazione equivalente a \frac{3}{4} e con denominatore 12 ha come numeratore il prodotto tra il vecchio numeratore (3) e il risultato della divisione tra il nuovo denominatore (12) e il vecchio denominatore (4), ossia

    \frac{3 \times (12:4)}{12} = \frac{3 \times 3}{12} = \frac{9}{12}

    Passiamo alla seconda: \frac{5}{6}

    La sua frazione equivalente e con denominatore 12 è

    \frac{5 \times (12:6)}{12} = \frac{5 \times 2}{12} = \frac{10}{12}

    Ci siamo così ricondotti a due frazioni con lo stesso denominatore

    \frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{9+10}{12}=\frac{19}{12}

    Metodo più veloce per svolgere l'addizione tra frazioni con denominatori diversi

    Dopo aver risolto molti esercizi, e quindi aver acquisito un po' di pratica, per svolgere le addizioni tra frazioni con denominatori diversi si usa un metodo più veloce, e solo all'apparenza diverso.

    Spieghiamolo con un esempio e calcoliamo la seguente addizione

    \frac{3}{2}+\frac{5}{3}+\frac{7}{8}

    • Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori

    \mbox{mcm}(2,3,8) = 24

    • Impostiamo la frazione somma, ossia tracciamo una linea di frazione e scriviamo come denominatore il minimo comune multiplo, e come numeratore tanti spazi vuoti quante sono le frazioni da sommare:

    \frac{3}{2}+\frac{5}{3}+\frac{7}{8}=\frac{... + ... + ...}{24}

    • Riempiamo gli spazi vuoti a numeratore:

    - il primo spazio vuoto si calcola dalla prima frazione \left(\frac{3}{2}\right). Dividiamo il denominatore comune per il denominatore della prima frazione e moltiplichiamo il risultato per il suo numeratore:

    (24:2)\times 3 = 12 \times 3 = 36

    - il secondo spazio vuoto si ottiene dalla seconda frazione \left(\frac{5}{3}\right). Dividiamo il denominatore comune per il denominatore della seconda frazione e moltiplichiamo il risultato per il suo numeratore:

    (24:3)\times 5 = 8 \times 5 = 40

    - il terzo spazio vuoto si calcola dalla terza frazione \left(\frac{7}{8}\right). Dividiamo il denominatore comune per il denominatore della terza frazione e moltiplichiamo il risultato per il suo numeratore:

    (24:8)\times 7 = 3 \times 7 = 21

    In definitiva, abbiamo

    \frac{3}{2}+\frac{5}{3}+\frac{7}{8}=\frac{36 + 40 + 21}{24}

    • Calcoliamo la somma a numeratore

    \frac{3}{2}+\frac{5}{3}+\frac{7}{8}=\frac{36 + 40 + 21}{24} = \frac{97}{24}

    e abbiamo finito: la frazione è già ridotta ai minimi termini.

    Addizioni tra frazioni e numeri interi

    Per addizionare una frazione a un numero intero basta scrivere il numero intero come frazione con denominatore 1, e quindi procedere come nel caso delle addizioni tra frazioni con denominatori diversi.

    Esempio di addizione tra numero intero e frazione

    2+\frac{5}{2}

    Scriviamo 2 come frazione con denominatore 1

    2+\frac{5}{2}=\frac{2}{1}+\frac{5}{2}

    Il minimo comune multiplo tra i denominatori è 2

    \mbox{mcm}(1,2)=2

    dunque tracciamo una linea di frazione e scriviamo come denominatore 2

    2+\frac{5}{2}=\frac{2}{1}+\frac{5}{2}=\frac{...+...}{2}

    Per trovare i numeratori della frazione somma dividiamo il denominatore comune per il vecchio denominatore di ciascuna frazione, e moltiplichiamo il risultato per il rispettivo numeratore

    \\ (2:1)\times 2 = 2 \times 2 = 4 \\ \\ (2:2)\times 5 = 1 \times 5 = 5

    quindi abbiamo

    2+\frac{5}{2}=\frac{2}{1}+\frac{5}{2}=\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}

    ***

    È tutto! Per fare un ripasso generale di tutte le operazioni tra frazioni ti rimandiamo alla lezione del link.

    Ti consigliamo anche:

    - di dare un'occhiata alla scheda di esercizi su addizione e sottrazione di frazioni;

    - di usare il tool risolvi espressioni, con cui puoi verificare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
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