Soluzioni
  • La derivata di ln(x), ossia la derivata del logaritmo naturale di x, è uguale a 1/x e si calcola usando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.

    \frac{d}{dx}[\ln(x)]=\frac{1}{x} \ \ \forall x > 0

    L'imposizione x>0 è d'obbligo perché il logaritmo naturale di x non è definito per x\le 0.

    Calcolo della derivata di ln(x)

    Consideriamo la funzione logaritmica

    f(x)=\ln(x) \ \ \mbox{ con } x>0

    e scriviamo il rapporto incrementale in un generico punto x del dominio

    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=

    sostituiamo l'espressione analitica della funzione e la sua valutazione in x+h

    =\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}

    La derivata prima di ln(x) è il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale, ossia

    \frac{d}{dx}[\ln(x)]=\lim_{h\to 0} \frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h} \ \ \forall x>0

    Calcoliamo il limite e per prima cosa usiamo una nota proprietà dei logaritmi, quella secondo cui la differenza di due logaritmi con la stessa base è uguale al logaritmo del rapporto degli argomenti:

    \frac{d}{dx}[\ln(x)]=\lim_{h\to 0} \frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h} = \\ \\ \\ =\lim_{h\to 0} \frac{\ln\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{h}=

    Scriviamo la frazione nell'argomento del logaritmo naturale come somma tra frazioni, dividendo termine a termine gli addendi a numeratore per il denominatore comune

    =\lim_{h\to 0} \frac{\ln\left(\dfrac{x}{x}+\dfrac{h}{x}\right)}{h}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0} \frac{\ln\left(1+\dfrac{h}{x}\right)}{h}= \ (\bullet)

    A questo punto dovremmo notare una certa somiglianza con il limite notevole del logaritmo naturale

    \lim_{z\to 0} \frac{\ln(1+z)}{z}=1

    Per ricondurci a esso poniamo z=\frac{h}{x}, da cui otteniamo h=zx, e osserviamo che per h che tende a zero anche z tende a zero.

    Riscriviamo il limite per sostituzione

    (\bullet) = \lim_{z \to 0} \frac{\ln(1+z)}{zx}=

    portiamo la x a denominatore fuori dal limite

    =\frac{1}{x} \cdot \lim_{z\to 0}\frac{\ln(1+z)}{z} = \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x}

    Abbiamo così dimostrato che la derivata di ln(x) è uguale a 1/x.

    ***

    Ci fermiamo qui. Se stai muovendo i primi passi nel mondo delle derivate, ti consigliamo di:

    - leggere la nostra lezione sul calcolo delle derivate e quella sulle derivate fondamentali;

    - usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare i risultati degli esercizi ed essere sicuro di non aver commesso errori.

    Se invece vuoi sapere qual è e come si calcola la derivata del logaritmo con base qualsiasi, ti rimandiamo all'approfondimento dell'ultimo link.

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Analisi Matematica