Soluzioni
  • I divisori di 96, o sottomultipli di 96, sono ventiquattro in tutto e sono tutti e soli i numeri interi, positivi e negativi, che dividono 96. In altre parole un divisore di 96 è un qualsiasi numero intero tale che la divisione tra 96 e il numero considerato ha resto uguale a zero.

    Tra poco vedremo come si calcolano, ma intanto ecco un elenco di tutti i divisori di 96:

    -96, -48, -32, -24, -16, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1,

    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96

    Quello dei divisori di un numero è un argomento che viene spiegato per la prima volta nella scuola primaria e che viene ripreso al primo anno di scuola media. In entrambi i casi ci vengono insegnati vari metodi con cui determinare solo i divisori positivi di 96:

    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96

    Tra il secondo e il terzo anno di scuola media viene introdotto l'insieme dei numeri interi relativi (numeri interi con segno meno o più, zero incluso), e si scopre che i divisori di un numero possono essere anche negativi. Da quel momento in poi occorre considerare anche i divisori negativi di 96, che sono gli opposti di quelli positivi:

    -1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24, -32, -48, -96

    Calcolo dei divisori di 96

    Per calcolare i divisori di 96 scomponiamo in fattori primi il numero 96

    \begin{array}{c|c} 96&2 \\ 48&2 \\ 24&2 \\ 12&2 \\ 6&2 \\ 3&3 \\ 1&\end{array}

    e concentriamoci sui numeri della colonna a destra.

    • I divisori primi di 96 sono i numeri primi che dividono 96, ossia:

    2, 3

    • I divisori positivi di 96 sono:

    - il numero 1, che è divisore di ogni numero;

    - i divisori primi, 2 e 3;

    - tutti i possibili prodotti dei numeri della colonna a destra

    \\ 2 \times 2 = 4 \\ \\ 2 \times 3 = 6 \\ \\ 2 \times 2 \times 2 = 8 \\ \\ 2 \times 2 \times 3 = 12 \\ \\ 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \\ \\ 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24 \\ \\ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \\ \\ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 48 \\ \\ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 96

    e quindi:

    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96

    - I divisori negativi di 96 sono gli opposti dei divisori positivi:

    -1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24, -32, -48, -96

    - Tutti i divisori di 96 sono dati dall'unione tra l'insieme dei divisori positivi e quello dei divisori negativi:

    -96, -48, -32, -24, -16, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1,

    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96

    Altro metodo per il calcolo dei divisori positivi di 96

    Dopo aver scomposto un numero in fattori primi, se i numeri della colonna a destra sono quattro o più c'è il rischio di dimenticare qualche prodotto, e quindi di omettere qualche divisore. In questi casi conviene usare un'altra tecnica di calcolo, che ci accingiamo ad applicare nel caso di 96 ma che può essere usata per ricercare i divisori di qualsiasi numero.

    • Scriviamo la scomposizione in forma compatta

    96=2^5 \times 3

    • Formiamo una tabella che contiene sulla prima riga tutte le potenze di 2, da 20 a 25, e sulla seconda riga tutte le potenze di 3, da 30 a 31

    \begin{array}{cccccccccccc}2^0 && 2^1 && 2^2 && 2^3 && 2^4 && 2^5 \\ \\ 3^0 && 3^1 \end{array}

    • Calcoliamo le potenze

    \begin{array}{cccccccccccc}1 && 2 && 4 && 8 && 16 && 32 \\ \\ 1 && 3 \end{array}

    • Moltiplichiamo ogni numero della prima riga per ogni numero della seconda riga

    \\ 1 \times 1 = 1 \ \ ; \ \ 1 \times 3= 3 \\ \\ 2 \times 1 = 2 \ \ ; \ \ 2 \times 3= 6 \\ \\ 4 \times 1 = 4 \ \ ; \ \ 4 \times 3= 12 \\ \\ 8 \times 1 = 8 \ \ ; \ \ 8 \times 3= 24 \\ \\ 16 \times 1 = 16 \ \ ; \ \ 16 \times 3= 48 \\ \\ 32 \times 1 = 32 \ \ ; \ \ 32 \times 3= 96

    • Scriviamoli in ordine crescente e abbiamo finito. Abbiamo trovato tutti i divisori positivi di 96:

    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96

    Come stabilire se un numero è un divisore di 96

    Un numero intero è un divisore di 96 se soddisfa le seguenti condizioni:

    - è compreso tra -96 e 96, estremi inclusi;

    - il resto della divisione tra 96 il numero considerato è uguale a 0.

    In tutti gli altri casi il numero considerato non è un divisore di 96.

    Ad esempio:

    • 192 e 960 non sono divisori di 96, infatti sono maggiori di 96.

    • 3, 12 e 48 sono divisori di 96 perché sono compresi tra -96 e 96 e il resto della divisione tra 96 e ciascuno di essi è uguale a zero

    \\ 96:3 = 32 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 96:12=8 \ \mbox{ resto } 0 \\ \\ 96:48=2 \ \mbox{ resto } 0

    • 5 e 9 non sono divisori di 96: pur essendo compresi tra -96 e 96, il resto della divisione tra 96 e ciascuno di essi non è nullo

    \\ 96:5=19 \ \mbox{ resto } 1 \\ \\ 96:9 = 10 \ \mbox{ resto } 6

    ***

    Ci fermiamo qui, ma se vuoi saperne di più sui concetti di multipli, sottomultipli e divisori ti rimandiamo alla lezione dell'omonimo link.

    Risposta di Galois
 
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