Soluzioni
  • L'integrale di 2x è uguale a x^2 più una costante arbitraria. Si può calcolare in due modi: con la definizione di integrale indefinito oppure usando la formula per il calcolo dell'integrale di una potenza.

    Indipendentemente dal metodo scelto, il risultato è sempre lo stesso: l'integrale indefinito di 2x è uguale al quadrato di x più una costante arbitraria:

    \int 2x dx = x^2+c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    Calcolo dell'integrale di 2x con la definizione

    In generale calcolare l'integrale indefinito di una funzione f(x)

    \int f(x) dx

    vuol dire individuare tutte e sole le primitive della funzione integranda f(x).

    All'atto pratico si deve cercare una funzione F(x) tale che la sua derivata prima sia uguale a f(x), e sommarvi una costante arbitraria c che individua la famiglia di tutte le possibili primitive di f(x)

    \int f(x) dx = F(x)+c \ \ \mbox{ con } F'(x)=f(x)

    Nel nostro caso la funzione integranda è f(x)=2x, per cui l'integrale indefinito di 2x è dato da

    \int 2x dx = F(x)+c \ \ \mbox{ con } F'(x)=2x

    Uno dei prerequisiti al calcolo integrale è la conoscenza delle derivate fondamentali, dunque dovremmo sapere che la derivata di x^2 è uguale a 2x

    \frac{d}{dx}[x^2] = 2x

    Ci siamo! Abbiamo trovato una funzione F(x) la cui derivata prima è 2x

    F(x)=x^2

    In conclusione

    \int 2x dx =x^2+c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    Calcolo dell'integrale di 2x con gli integrali notevoli

    Riscriviamo l'integrale che vogliamo calcolare

    \int 2x dx=

    e osserviamo che la funzione integranda è uguale al prodotto tra la costante 2 e la funzione f(x)=x.

    Possiamo quindi applicare la proprietà di omogeneità dell'integrale, secondo cui l'integrale del prodotto tra una costante e una funzione è uguale al prodotto tra la costante e l'integrale della funzione

    =2 \int x dx

    A questo punto per calcolare l'integrale di x consideriamo la funzione

    f(x)=x

    e pensiamola come la funzione potenza con esponente 1

    f(x)=x^n \ \ \mbox{ con } n=1

    L'integrale di x^n è un integrale notevole e, se n \neq -1, vale

    \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+k, \ \ k \in \mathbb{R}, \ n \neq -1

    Nel nostro caso n=1, dunque

    \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1}+k = \frac{x^2}{2}+k, \ \ \ k \in \mathbb{R}

    Ricapitolando:

    \int 2x dx= 2 \int x dx = 2 \cdot \left(\frac{x^2}{2} + k\right) = x^2+2k=

    Non ci resta che ribattezzare la costante additiva ponendo 2k=c

    =x^2+c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    e abbiamo finito. Anche questo procedimento conferma che l'integrale di 2x è uguale al quadrato di x più una costante arbitraria.

    ***

    Ci fermiamo qui, ma ti consigliamo:

    - di fare un ripasso sugli integrali fondamentali;

    - di usare il tool per gli integrali indefiniti online, con cui puoi verificare il risultato di qualsiasi integrale che svolgi autonomamente.

    Risposta di Galois
 
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