Soluzioni
  • Certo giacomo22, ti rispondo subito

    Risposta di Alpha
  • Una funzione è lipschitziana quando ha un valore di crescita limitato da una costante. Questo, in soldoni significa che il rapporto tra la variazione della funzione sulle ordinate (variazione sull'asse y), e sulle ascisse (asse x), non supera mai un certo valore fissato. Tale valore si chiama costante di Lipschitz.

    La condizione di lipschitzianità è più forte della continuità, infatti una funzione lipschitziana è continua, ma meno forte della derivabilità: è possibile trovare una funzione a variazione limitata, dove per variazione intendo quella di cui sopra, ma non derivabile. Proprio questa caratteristica di stare a metà tra due condizioni ben note rende questa condizione abbastanza ostica. In realtà capitano dei casi in cui è abbastanza semplice dimostrare che una funzione è lipschitiziana su un certo insieme e dedurne la continuità.

    In simboli matematici, data

     

    f:A\subseteq\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}

     

    f si dice lipschitziana o di Lipschitz su A, se esiste K≥0 tale che

     

    ||f(x)-f(y)||\leq K||x-y||

     

    con x,y appartenenti ad A.

     

    Ad esempio, la funzione |x| è lipschitziana su [-1,1], il suo grafico è noto, e la crescita è chiaramente limitata, si tratta della bisettrice del primo terzo quadrante per x positive e della bisettrice secondo quarto per x negative. Non solo questa funzione non è derivabile in 0, vedi quindi, in questo esempio come la lipschitzianità implichi la continuità, ma non la derivabilità!

    Risposta di Alpha
  • Non ho ben capito. Potresti spiegarmi il tutto prendendo in considerazione la funzione sqrt(x)

    - Nell'intervallo [0,1] è Lipschitziana? Come trovare la costante L?

    - Nel dominio è Lipschitziana?

    In termini algebrici come verificare che una qualsiasi funzione è Lipschitziana? E come trovare la costante L?

    Risposta di giacomo22
  • Premesso che la risposta di Alpha era esauriente, la funzione

    y=\sqrt{x}

    non è lipschitziana su [0,1], mentre è lipschitziana su ogni intervallo della forma [a,b] con a>0.

    Per provare la lipschitzianità di una funzione algebricamente, non c'è un metodo standard, tranne il calcolo dei limiti: molto dipende dalla funzione che stai considerando. Prima di cercare di fare i conti, è essenziale farsi un'idea sulla funziona stessa.

    Prendiamo la radice: per prima cosa sappiamo che è continua da destra in x=0, ma non è derivabile in tale punto. La lipschitzianità (sto per dire una cosa oscena dal punto di vista del rigore) si trova a metà strada tra la continuità e la derivabilità, e questo dovrebbe bastare per metterci in testa il sospetto che la radice di x non sia lipschitziana in zero.

    Quando hai un sospetto, cerchi di confermarlo (=smanetta con i calcoli).

    Nella fattispecie, osserva che in [0,1] puoi prendere, ad esempio, x piccolo quanto vuoi, dunque prossimo a zero, e puoi prendere y arbitrariamente in 1. Ora osserva che, fissato y=0

    \lim_{x\to 0^+}{\frac{\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|}{\left|x-y\right|}}=+\infty

    quindi ne deduciamo che non è possibile trovare alcuna costante tale da maggiorare il precedente rapporto (che va ad inifinito).

    Morale della favola: la radice di x non è lipschitziana nell'intervallo [0,1].

     

    Sugli intervalli del tipo [a,b] con a positivo, invece, puoi osservare che la costante più grande la puoi ricavare ragionando così. Supponiamo x\geq y

    {\frac{\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|}{\left|x-y\right|}}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}

    la costante più piccola la ricavi prendendo x=a,\ y=b, perchè dividi per la somma più grande. Cerchiamo di dividere per la somma più piccola, non è difficile capire come fare

    \frac{\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|}{\left|x-y\right|}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\leq\frac{1}{2\sqrt{a}}

    e questo è il valore più grande che puoi ottenere all'interno dell'intervallo, per x=a=y.

    Morale della favola: la radice di x è lipschitziana su ogni intervallo del tipo [a,b] con a positivo.

     

    Nota: per approfondire, puoi leggere la lezione sulle funzioni lipschitziane (puoi disinteressarti completamente delle altre lezioni della categoria in cui è inserita...)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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