Soluzioni
  • Un semicerchio è una figura geometrica che forma la metà di un cerchio o, in modo equivalente, ciascuna delle due parti in cui un qualsiasi diametro divide un cerchio; il perimetro del semicerchio si calcola come 2p=2r+πr, mentre l'area del semicerchio si calcola come A=πr^2/2.

    Definizione di semicerchio

    Per capire la definizione di semicerchio, e cogliere la differenza tra semicerchio e semicirconferenza, disegniamo una circonferenza di centro O e raggio r e tracciamo un suo qualsiasi diametro.

     

    Semicerchio

    Semicerchio.

     

    • Ciascuna delle due parti in cui il diametro divide la circonferenza è una semicirconferenza.

    • Ciascuna delle due parti del cerchio delimitate da una semicirconferenza e dal diametro è un semicerchio.

    Oltre a questo è bene sapere che il raggio e il diametro della circonferenza a cui appartiene il semicerchio vengono detti, rispettivamente, raggio del semicerchio e diametro del semicerchio.

    Semicerchio come segmento circolare

    Un semicerchio può anche essere pensato come caso particolare di un segmento circolare. Ricordiamo infatti che un segmento circolare è una porzione di cerchio racchiusa tra un arco di circonferenza e la corda che unisce gli estremi dell'arco.

    Per intenderci, ecco un'immagine che mostra un segmento circolare, evidenziato in arancione:

     

    Segmento circolare

    Segmento circolare e semicerchio.

     

    Se la corda c viene a coincidere con un diametro, allora l'arco di circonferenza L è una semicirconferenza e la parte in arancione è un semicerchio.

    Formule del semicerchio

    Passiamo a elencare le formule del semicerchio, dirette e inverse. In tabella abbiamo indicato con r il raggio del semicerchio, con d il suo diametro, con A l'area del semicerchio e con 2p il suo perimetro.

     

    Area del semicerchio

    A=\frac{\pi r^2}{2}

    Raggio (dall'area)

    r=\sqrt{\frac{2A}{\pi}}

    Perimetro del semicerchio

    2p=\pi r + d

    Raggio (dal perimetro)

    r=\frac{2p-d}{\pi}

    Diametro (dal perimetro)

    d=2p-\pi r

    Per il Pi Greco si può usare l'approssimazione

    \pi \simeq 3,14

     

    Le formule del semicerchio non vanno assolutamente imparate a memoria, infatti:

    - le formule in grassetto (per area e perimetro) si ottengono dalle formule del cerchio e della circonferenza, che già dovresti conoscere;

    - le formule inverse (quelle non in grassetto) si ricavano dalle formule in grassetto con semplici passaggi algebrici.

    Esercizi svolti sul semicerchio

    È giunto il momento di passare agli esercizi e di vedere qualche problema svolto sul semicerchio. Leggendo gli svolgimenti potrai prendere confidenza con le formule e sarà tutto più chiaro. ;)

    1) Calcola il perimetro e l'area di un semicerchio sapendo che il suo raggio misura 10 centimetri.

    Svolgimento: dalla misura del raggio

    r=10 \mbox{ cm}

    possiamo calcolare la misura del diametro, che è il doppio di quella del raggio

    d=2r = 2 \cdot (10 \mbox{ cm}) = 20 \mbox{ cm}

    e quindi trovare il perimetro del semicerchio

    2p=\pi r + d = \pi \cdot (10 \mbox{ cm}) + 20 \mbox{ cm} \simeq

    sostituiamo \pi con il suo valore approssimato (\pi \simeq 3,14)

    \simeq 3,14 \cdot (10 \mbox{ cm}) + 20 \mbox{ cm} \simeq 31,4 \mbox{ cm} + 20 \mbox{ cm} = 51,4 \mbox{ cm}

    Calcoliamo poi la sua area, che è la metà dell'area di un cerchio di raggio r=10 \mbox{ cm}

    A=\frac{\pi r^2}{2} = \frac{\pi \cdot (10 \mbox{ cm})^2}{2}=\frac{\pi \cdot 100 \mbox{ cm}^2}{2}=50\pi \mbox{ cm}^2 \simeq

    e sostituiamo \pi con la sua approssimazione alla seconda cifra decimale

    \simeq (50 \cdot 3,14) \mbox{ cm}^2 = 157 \mbox{ cm}^2

    In conclusione il semicerchio ha un'area di circa 157 cm2 e un perimetro di circa 51,4 cm.

    2) L'area di un semicerchio è di 8π centimetri quadrati. Calcolare il perimetro e le misure del raggio e del diametro del semicerchio.

    Svolgimento: conosciamo l'area del semicerchio

    A=8\pi \mbox{ cm}^2

    e dobbiamo calcolare la misura del raggio, quella del diametro e il perimetro.

    Invertiamo la formula dell'area in favore del raggio

    A=\frac{\pi r^2}{2} \ \to \ r=\sqrt{\frac{2A}{\pi}}

    Sostituiamo A con il suo valore e calcoliamo il prodotto:

    r=\sqrt{\frac{2A}{\pi}}=\sqrt{\frac{2 \cdot (8 \pi \mbox{ cm}^2)}{\pi}}=\sqrt{\frac{16\pi \mbox{ cm}^2}{\pi}}=

    Semplifichiamo

    =\sqrt{16 \mbox{ cm}^2}=

    ed estraiamo la radice quadrata

    =4 \mbox{ cm}

    Abbiamo ricavato che il raggio del semicerchio misura 4 cm

    r=4 \mbox{ cm}

    e da qui possiamo calcolare la misura del diametro

    d=2r = 2 \cdot (4 \mbox{ cm}) = 8 \mbox{ cm}

    Passiamo infine al perimetro:

    \\ 2p=\pi r + d = \pi \cdot (4 \mbox{ cm}) + 8 \mbox{ cm} \simeq 3,14 \cdot (4 \mbox{ cm}) + 8 \mbox{ cm} = \\ \\ = 12,56 \mbox{ cm} + 8 \mbox{ cm} = 20,56 \mbox{ cm}

    3) Il perimetro di un semicerchio è di 10,28 metri. Calcolare la misura del raggio e l'area del semicerchio.

    Svolgimento: dal perimetro del semicerchio

    2p=10,28 \mbox{ m}

    possiamo calcolare la misura del raggio e, da essa, l'area del semicerchio.

    Scriviamo la formula del perimetro

    2p=\pi r + d

    e sostituiamo d con 2r

    2p=\pi r + 2r

    da cui

    2p=r(\pi + 2)

    A questo punto invertiamo la formula in favore del raggio

    r=\frac{2p}{\pi + 2}\simeq

    sostituiamo 2p e \pi, e svolgiamo i calcoli

    \simeq \frac{10,28 \mbox{ cm}}{3,14 + 2} = \frac{10,28 \mbox{ m}}{5,14} = 2 \mbox{ m}

    Per concludere calcoliamo l'area:

    A=\frac{\pi r^2}{2} = \frac{\pi \cdot (2 \mbox{ m})^2}{2}\simeq\frac{3,14 \cdot 4 \mbox{ m}^2}{2} = 6,28 \mbox{ m}^2

    ***

    Ci fermiamo qui, ma ti segnaliamo i seguenti approfondimenti:

    - area del semicerchio

    - perimetro del semicerchio

    dove puoi leggere altri esercizi svolti e dove abbiamo spiegato come si ottengono le formule del semicerchio dalle formule di cerchio e circonferenza.

    Risposta di Galois
 
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