La derivata di 1/x^2 vale -2/x^3, ossia la derivata di f(x)=1/x^2 è f'(x)=-2/x^3, e si può calcolare in due modi: con la regola di derivazione del rapporto, oppure scrivendo 1/x^2 come potenza con esponente negativo e usando la formula di derivazione delle potenze.
Quale che sia il metodo scelto, il risultato è sempre lo stesso: la derivata di 1/x^2 è data da
Derivata di 1/x^2 come derivata di una potenza
Il metodo più veloce per calcolare la derivata prima di 1/x^2 è quello di scrivere 1/x^2 come potenza con esponente negativo
per poi applicare la regola di derivazione di una potenza, secondo cui
Nel nostro caso è
, dunque nella precedente formula sostituiamo
con -2
per definizione di potenza con esponente negativo
Abbiamo così ottenuto che la derivata di 1 su x^2 è uguale a -2 su x^3.
Derivata di 1/x^2 come derivata di un rapporto
Il secondo metodo si basa sulla regola di derivazione di un rapporto.
Innanzitutto osserviamo che
è il rapporto tra due funzioni:
- la funzione costante
;
- la funzione potenza
.
In generale la derivata del rapporto tra due funzioni
è data da:
Applichiamola per calcolare la derivata di
Calcoliamo a parte le derivate di
e di
• la derivata di 1 è zero
• la derivata di x^2 è 2x
Sostituiamo nella formula della derivata del rapporto
svolgiamo i calcoli
e semplifichiamo
Ci siamo! Anche questo metodo conferma che la derivata prima di 1/x^2 è uguale a -2 fratto x^3
***
Per concludere, ti consigliamo:
- di leggere la lezione sulle regole di derivazione;
- di avere sempre ben presenti le derivate fondamentali;
- di usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare i risultati degli esercizi.
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