Soluzioni
  • La derivata di 1/x^2 è uguale a -2/x3 e si può calcolare in due modi: usando la regola di derivazione del rapporto, oppure scrivendo 1/x^2 come potenza con esponente negativo e usando la formula di derivazione delle potenze.

    Quale che sia il metodo scelto, il risultato è sempre lo stesso: la derivata di 1/x^2 è data da

    \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^2}\right]=-\frac{2}{x^3}

    Derivata di 1/x^2 come derivata di una potenza

    Il metodo più veloce per calcolare la derivata prima di 1/x^2 è quello di scrivere 1/x^2 come potenza con esponente negativo

    \frac{1}{x^2}=x^{-2}

    per poi applicare la regola di derivazione di una potenza, secondo cui

    \frac{d}{dx}[x^n]=n \cdot x^{n-1} \ \ \forall n \in \mathbb{R}

    Nel nostro caso è n=-2, dunque nella precedente formula sostituiamo n con -2

    \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^2}\right] = \frac{d}{dx}[x^{-2}] = -2 \cdot x^{-2-1}=-2 \cdot x^{-3}=

    per definizione di potenza con esponente negativo

    =-2 \cdot \frac{1}{x^3} = -\frac{2}{x^3}

    Abbiamo così ottenuto che la derivata di 1 su x^2 è uguale a -2 su x^3.

    Derivata di 1/x^2 come derivata di un rapporto

    Il secondo metodo si basa sulla regola di derivazione di un rapporto.

    Innanzitutto osserviamo che \frac{1}{x^2} è il rapporto tra due funzioni:

    - la funzione costante f(x)=1;

    - la funzione potenza g(x)=x^2.

    In generale la derivata del rapporto tra due funzioni f(x), \ g(x) è data da:

    \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

    Applichiamola per calcolare la derivata di

    \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{x^2}

    Calcoliamo a parte le derivate di f(x)=1 e di g(x)=x^2

    • la derivata di 1 è zero

    f(x)=1 \ \ \to \ \ f'(x)=0

    • la derivata di x^2 è 2x

    g(x)=x^2 \ \ \to \ \ g'(x)=2x

    Sostituiamo nella formula della derivata del rapporto

    \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^2}\right]=\frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{[x^2]^2}=

    svolgiamo i calcoli

    =\frac{-2x}{x^4}

    e semplifichiamo

    =\frac{-2}{x^3}

    Ci siamo! Anche questo metodo conferma che la derivata prima di 1/x^2 è uguale a -2 fratto x^3

    \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^2}\right]=-\frac{2}{x^3}

    ***

    Per concludere, ti consigliamo:

    - di leggere la lezione sulle regole di derivazione;

    - di avere sempre ben presenti le derivate fondamentali;

    - di usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
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