Soluzioni
  • La derivata di 1/x^2 vale -2/x^3, ossia la derivata di f(x)=1/x^2 è f'(x)=-2/x^3, e si può calcolare in due modi: con la regola di derivazione del rapporto, oppure scrivendo 1/x^2 come potenza con esponente negativo e usando la formula di derivazione delle potenze.

    Quale che sia il metodo scelto, il risultato è sempre lo stesso: la derivata di 1/x^2 è data da

    (d)/(dx)[(1)/(x^2)] = -(2)/(x^3)

    Derivata di 1/x^2 come derivata di una potenza

    Il metodo più veloce per calcolare la derivata prima di 1/x^2 è quello di scrivere 1/x^2 come potenza con esponente negativo

    (1)/(x^2) = x^(-2)

    per poi applicare la regola di derivazione di una potenza, secondo cui

    (d)/(dx)[x^n] = n·x^(n-1) ∀ n ∈ R

    Nel nostro caso è n = -2, dunque nella precedente formula sostituiamo n con -2

    (d)/(dx)[(1)/(x^2)] = (d)/(dx)[x^(-2)] = -2·x^(-2-1) = -2·x^(-3) =

    per definizione di potenza con esponente negativo

    = -2·(1)/(x^3) = -(2)/(x^3)

    Abbiamo così ottenuto che la derivata di 1 su x^2 è uguale a -2 su x^3.

    Derivata di 1/x^2 come derivata di un rapporto

    Il secondo metodo si basa sulla regola di derivazione di un rapporto.

    Innanzitutto osserviamo che (1)/(x^2) è il rapporto tra due funzioni:

    - la funzione costante f(x) = 1;

    - la funzione potenza g(x) = x^2.

    In generale la derivata del rapporto tra due funzioni f(x), g(x) è data da:

    (d)/(dx)[(f(x))/(g(x))] = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/([g(x)]^2)

    Applichiamola per calcolare la derivata di

    (f(x))/(g(x)) = (1)/(x^2)

    Calcoliamo a parte le derivate di f(x) = 1 e di g(x) = x^2

    • la derivata di 1 è zero

    f(x) = 1 → f'(x) = 0

    • la derivata di x^2 è 2x

    g(x) = x^2 → g'(x) = 2x

    Sostituiamo nella formula della derivata del rapporto

    (d)/(dx)[(1)/(x^2)] = (0·x^2-1·2x)/([x^2]^2) =

    svolgiamo i calcoli

    = (-2x)/(x^4)

    e semplifichiamo

    = (-2)/(x^3)

    Ci siamo! Anche questo metodo conferma che la derivata prima di 1/x^2 è uguale a -2 fratto x^3

    (d)/(dx)[(1)/(x^2)] = -(2)/(x^3)

    ***

    Per concludere, ti consigliamo:

    - di leggere la lezione sulle regole di derivazione;

    - di avere sempre ben presenti le derivate fondamentali;

    - di usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
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