Derivata di 1/x^2

La derivata di 1/x^2 vale -2/x^3, ossia la derivata di f(x)=1/x^2 è f'(x)=-2/x^3, e si può calcolare in due modi: con la regola di derivazione del rapporto, oppure scrivendo 1/x^2 come potenza con esponente negativo e usando la formula di derivazione delle potenze.

Quale che sia il metodo scelto, il risultato è sempre lo stesso: la derivata di 1/x^2 è data da

Derivata di 1/x^2 come derivata di una potenza

Il metodo più veloce per calcolare la derivata prima di 1/x^2 è quello di scrivere 1/x^2 come potenza con esponente negativo

per poi applicare la regola di derivazione di una potenza, secondo cui

Nel nostro caso è , dunque nella precedente formula sostituiamo con -2

per definizione di potenza con esponente negativo

Abbiamo così ottenuto che la derivata di 1 su x^2 è uguale a -2 su x^3.

Derivata di 1/x^2 come derivata di un rapporto

Il secondo metodo si basa sulla regola di derivazione di un rapporto.

Innanzitutto osserviamo che è il rapporto tra due funzioni:

- la funzione costante ;

- la funzione potenza .

In generale la derivata del rapporto tra due funzioni è data da:

Applichiamola per calcolare la derivata di

Calcoliamo a parte le derivate di e di

• la derivata di 1 è zero

• la derivata di x^2 è 2x

Sostituiamo nella formula della derivata del rapporto

svolgiamo i calcoli

e semplifichiamo

Ci siamo! Anche questo metodo conferma che la derivata prima di 1/x^2 è uguale a -2 fratto x^3

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Per concludere, ti consigliamo:

- di leggere la lezione sulle regole di derivazione;

- di avere sempre ben presenti le derivate fondamentali;

- di usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare i risultati degli esercizi.