Integrale sen(2x)

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento:

Come si calcola l'integrale di sen(2x), ossia l'integrale del seno di 2x? Ho provato ad applicare la formula di duplicazione del seno, ma non riesco a venirne a capo. Esiste un altro modo, e in caso affermativo come si applica?

Calcolare l'integrale indefinito del seno di 2x

∫ sin(2x) dx

Soluzione

L'integrale di sen(2x) è uguale al prodotto tra la costante -1/2 e il coseno di 2x, più una costante arbitraria. Si può calcolare per sostituzione o, più semplicemente, riconducendosi a un integrale notevole in forma generale.

Tra un istante applicheremo entrambi i metodi di calcolo, ma prima vediamo il risultato:

∫ sin(2x) dx = −(1)/(2)cos(2x)+c, c ∈ R

Integrale di sen(2x) per sostituzione

Applichiamo il metodo di integrazione per sostituzione e poniamo

2x = t

Ricaviamo il valore di x in funzione di t

x = (t)/(2)

e deriviamo membro a membro, così da ottenere il nuovo differenziale

dx = (1)/(2) dt

Sostituiamo nell'integrale di partenza

∫ sin(2x) dx = ∫ sin(t)·(1)/(2)dt =

e portiamo il fattore moltiplicativo (1)/(2) fuori dal segno di integrale

= (1)/(2) ∫ sin(t) dt =

Abbiamo così ottenuto l'integrale elementare del seno, che per abitudine e per esercizio dovremmo ricordare a memoria

= (1)/(2)·(−cos(t))+c = −(1)/(2) cos(t)+c =

Torniamo alla variabile x. Poiché avevamo imposto 2x = t, sostituiamo t con 2x

= −(1)/(2)cos(2x)+c

In definitiva

∫ sin(2x) dx = −(1)/(2)cos(2x)+c

Integrale di sen(2x) come integrale notevole

Tra gli integrali notevoli in forma generale compare il seguente:

∫ [sin(f(x))·f'(x)] dx = −cos(f(x))+c

L'integranda dell'integrale indefinito del seno di 2x

∫ sin(2x) dx

è della forma sin(f(x)) con f(x) = 2x.

Per ricondurci all'integrale notevole manca la derivata prima di f(x) = 2x che è f'(x) = 2

f(x) = 2x → f'(x) = 2

Con questa breve premessa riprendiamo l'integrale e moltiplichiamo e dividiamo per 2

∫ sin(2x) dx = ∫ [sin(2x)·(1)/(2)·2] dx =

portiamo (1)/(2) fuori dal segno di integrale

= (1)/(2) ∫ [sin(2x)·2] dx =

e facciamo intervenire l'integrale notevole del seno in forma generale

= −(1)/(2)cos(2x)+c

Anche con questo metodo abbiamo ottenuto lo stesso risultato:

∫ sin(2x) dx = −(1)/(2)cos(2x)+c

***

Per concludere, ti segnaliamo:

- la scheda di esercizi sugli integrali particolari;

- il tool per gli integrali online, con cui puoi verificare la correttezza dei risultati degli integrali che svolgi autonomamente.

Domande della categoria Wiki - Analisi Matematica
Esercizi simili e domande correlate