Soluzioni
  • L'integrale di sen(2x) è uguale al prodotto tra la costante -1/2 e il coseno di 2x, più una costante arbitraria. Si può calcolare per sostituzione o, più semplicemente, riconducendosi a un integrale notevole in forma generale.

    Tra un istante applicheremo entrambi i metodi di calcolo, ma prima vediamo il risultato:

    \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    Integrale di sen(2x) per sostituzione

    Applichiamo il metodo di integrazione per sostituzione e poniamo

    2x=t

    Ricaviamo il valore di x in funzione di t

    x=\frac{t}{2}

    e deriviamo membro a membro, così da ottenere il nuovo differenziale

    dx=\frac{1}{2} dt

    Sostituiamo nell'integrale di partenza

    \int \sin(2x) dx = \int \sin(t) \cdot \frac{1}{2}dt =

    e portiamo il fattore moltiplicativo \frac{1}{2} fuori dal segno di integrale

    =\frac{1}{2} \int \sin(t) dt =

    Abbiamo così ottenuto l'integrale elementare del seno, che per abitudine e per esercizio dovremmo ricordare a memoria

    =\frac{1}{2} \cdot (-\cos(t)) + c= -\frac{1}{2} \cos(t) + c =

    Torniamo alla variabile x. Poiché avevamo imposto 2x=t, sostituiamo t con 2x

    =-\frac{1}{2}\cos(2x)+c

    In definitiva

    \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + c

    Integrale di sen(2x) come integrale notevole

    Tra gli integrali notevoli in forma generale compare il seguente:

    \int \left[\sin(f(x)) \cdot f'(x)\right] dx = -\cos(f(x)) + c

    L'integranda dell'integrale indefinito del seno di 2x

    \int \sin(2x) dx

    è della forma \sin(f(x)) con f(x)=2x.

    Per ricondurci all'integrale notevole manca la derivata prima di f(x)=2x che è f'(x)=2

    f(x)=2x \ \to \ f'(x)=2

    Con questa breve premessa riprendiamo l'integrale e moltiplichiamo e dividiamo per 2

    \int \sin(2x) dx = \int \left[\sin(2x) \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\right] dx =

    portiamo \frac{1}{2} fuori dal segno di integrale

    =\frac{1}{2} \int [\sin(2x) \cdot 2] dx =

    e facciamo intervenire l'integrale notevole del seno in forma generale

    =-\frac{1}{2}\cos(2x) + c

    Anche con questo metodo abbiamo ottenuto lo stesso risultato:

    \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + c

    ***

    Per concludere, ti segnaliamo:

    - la scheda di esercizi sugli integrali particolari;

    - il tool per gli integrali online, con cui puoi verificare la correttezza dei risultati degli integrali che svolgi autonomamente.

    Risposta di Galois
 
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