Soluzioni
  • La lunghezza di una circonferenza si calcola come 2p=2πr, ossia come doppio prodotto tra Pi Greco e il raggio della circonferenza, ed è il perimetro del cerchio delimitato dalla circonferenza.

    Cos'è la lunghezza di una circonferenza

    Per capire cos'è e come si calcola la lunghezza di una circonferenza supponiamo di tagliare una circonferenza in un punto e di distenderla per formare un segmento. La lunghezza del segmento così ottenuto è quella che viene detta lunghezza della circonferenza.

    Per fissare le idee disegniamo una circonferenza di centro O e raggio r, e prendiamo un filo di ferro sottile, in modo che sia facilmente modellabile.

    Individuiamo un punto qualsiasi sulla circonferenza e, partendo da esso, facciamo aderire il filo alla circonferenza fino a raggiungere nuovamente il punto stesso. A questo punto tagliamo il filo in eccesso e raddrizziamo la parte che ricalca la circonferenza in modo da ottenere un segmento, che nella seguente immagine abbiamo indicato con AB.

     

    Lunghezza circonferenza

    Lunghezza circonferenza = 2πr.

     

    Il segmento AB prende il nome di circonferenza rettificata e la sua lunghezza equivale alla lunghezza della circonferenza di centro O e raggio r.

    Nota bene: quanto scritto fin qui serve solo a dare un'idea intuitiva di lunghezza di una circonferenza. Per una definizione rigorosa sono infatti necessari strumenti matematici più avanzati.

    Formule per la lunghezza della circonferenza

    Nella seguente tabella elenchiamo le formule per il calcolo della lunghezza della circonferenza. Abbiamo indicato con r il raggio, con d il diametro, con A l'area del cerchio, con \pi la costante Pi Greco e con 2p la lunghezza della circonferenza.

     

    Tipo di formula

    Formula per la lunghezza della circonferenza

    Lunghezza della circonferenza con il raggio

    2p=2\pi r

    Lunghezza della circonferenza con il diametro

    2p=\pi d

    Lunghezza della circonferenza con l'area

    2p=\sqrt{4 \pi A}

     

    Se ti stai chiedendo perché abbiamo indicato la lunghezza della circonferenza con 2p, eccone spiegato il motivo: la lunghezza di una circonferenza coincide con il perimetro del cerchio delimitato dalla stessa circonferenza, e il simbolo universalmente usato per indicare il perimetro è 2p.

    Per tutte le formule su cerchio e circonferenza, comprese le formule inverse della lunghezza della circonferenza, rimandiamo al formulario del link.

    Esercizi svolti sulla lunghezza della circonferenza

    È giunto il momento di vedere come si risolvono gli esercizi sul calcolo della lunghezza della circonferenza al variare dei dati forniti dalla traccia del problema. Ogni esercizio è interamente svolto e, di volta in volta, abbiamo spiegato i vari metodi per giungere alla soluzione.

    Una piccola precisazione: la costante Pi Greco è un numero irrazionale, ossia un numero decimale non periodico con infinite cifre decimali. Una volta giunti alla soluzione si può scegliere di lasciarla indicata con il suo simbolo (\pi), oppure sostituirla con il valore approssimato alla seconda cifra decimale (\pi \simeq 3,14).

    Calcolo lunghezza circonferenza con il raggio

    Per calcolare la lunghezza della circonferenza conoscendo il raggio basta moltiplicare la misura del raggio per 2π.

    2p=2 \pi r

    Esempio

    Il raggio di una circonferenza misura 2,5 centimetri. Calcola la lunghezza della circonferenza.

    Svolgimento: poiché conosciamo la misura del raggio

    r=2,5 \mbox{ cm}

    possiamo calcolare direttamente la lunghezza della circonferenza moltiplicando il raggio per 2π

    2p=2\pi r = 2 \pi \cdot (2,5 \mbox{ cm}) = 5\pi \mbox{ cm}=

    sostituiamo Pi Greco con il suo valore approssimato alla seconda cifra decimale

    \simeq (5 \cdot 3,14) \mbox{ cm} \simeq 15,7 \mbox{ cm}

    In definitiva la lunghezza di una circonferenza di raggio 2,5 cm è pari a circa 15,7 centimetri.

    Calcolo lunghezza circonferenza con il diametro

    Se è nota la lunghezza del diametro, per calcolare la lunghezza della circonferenza basta moltiplicare il diametro per Pi Greco.

    2p = \pi d

    Esempio

    Calcola la lunghezza di una circonferenza che ha il diametro di 8 cm.

    Svolgimento: ci viene data la misura del diametro

    d=8 \mbox{ cm}

    dunque per calcolare la lunghezza della circonferenza ci basta moltiplicare d per Pi Greco

    2p= \pi d = \pi \cdot (8 \mbox{ cm}) = 8\pi \mbox{ cm} \simeq \\ \\ \simeq (8 \cdot 3,14) \mbox{ cm} \simeq 25,12 \mbox{ cm}

    In alternativa possiamo risolvere il problema ricavando la misura del raggio da quella del diametro

    r=\frac{d}{2}=\frac{8 \mbox{ cm}}{2}=4 \mbox{ cm}

    e calcolare la lunghezza della circonferenza usando la formula con il raggio

    2p=2\pi r = 2 \pi \cdot (4 \mbox{ cm}) = 8\pi \mbox{ cm} \simeq 25,12 \mbox{ cm}

    Quale che sia il metodo scelto si ricava che la lunghezza di una circonferenza di diametro 8 cm è di circa 25,12 centimetri.

    Calcolo lunghezza circonferenza con l'area

    Se viene assegnata l'area del cerchio, si può calcolare direttamente la lunghezza della circonferenza estraendo la radice quadrata del prodotto tra l'area e 4π.

    2p = \sqrt{4\pi A}

    Esempio

    Calcola la lunghezza di una circonferenza sapendo che racchiude un cerchio di area 441π centimetri quadrati.

    Svolgimento: conosciamo l'area del cerchio

    A=441\pi \mbox{ cm}^2

    Per calcolare direttamente la lunghezza della circonferenza basta estrarre la radice quadrata del prodotto tra l'area e 4π

    \\ 2p = \sqrt{4\pi A} = \sqrt{4\pi \cdot (441\pi \mbox{ cm}^2)} = \\ \\ = \sqrt{1764\pi^2 \mbox{ cm}^2} = 42\pi \mbox{ cm}

    Se non si ricorda la formula diretta per il calcolo della lunghezza della circonferenza dall'area, si può procedere in un altro modo.

    Dalla formula per il calcolo dell'area del cerchio

    A=\pi r^2

    determiniamo la misura del raggio

    r=\sqrt{\frac{A}{\pi}} = \sqrt{\frac{441\pi \mbox{ cm}^2}{\pi}} = \sqrt{441 \mbox{ cm}^2} = 21 \mbox{ cm}

    e quindi calcoliamo la lunghezza della circonferenza con la relativa formula

    2p=2\pi r = 2 \pi \cdot (21 \mbox{ cm}) = 42\pi \mbox{ cm}

    In entrambi i casi si ottiene che la lunghezza della circonferenza che racchiude un cerchio di area 441π cm2 è di 42π cm, che equivalgono a circa 131,88 cm.

    ***

    Per altri esercizi risolti passo-passo, rimandiamo alla nostra scheda di problemi svolti sulla circonferenza - click!

    Risposta di Galois
 
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