Soluzioni
  • La derivata di -x è -1. Si può calcolare applicando la regola di derivazione del prodotto di una costante per una funzione, oppure usando la definizione di derivata.

    Ovviamente il risultato è sempre lo stesso indipendentemente dal metodo scelto: la derivata prima di -x è uguale a -1

    \frac{d}{dx}[-x]=-1

    Calcolo della derivata di -x

    Consideriamo la funzione

    f(x)=-x

    e riscriviamola come prodotto tra la costante c=-1 e la funzione identità g(x)=x

    f(x)=-x = -1 \cdot x

    Dalla regola di derivazione del prodotto di una funzione per una costante sappiamo che la derivata del prodotto tra una costante c e una funzione g(x) è uguale al prodotto tra la costante e la derivata della funzione.

    In una formula:

    \frac{d}{dx}[c \cdot g(x)] = c \cdot \frac{d}{dx}[g(x)]

    Nel nostro caso abbiamo

    c=-1 \ \ ; \ \ g(x)=x

    dunque sostituendo nella precedente formula, otteniamo

    \frac{d}{dx}[-1 \cdot x] = -1 \cdot \frac{d}{dx}[x]=

    Poiché la derivata di x è uguale a 1

    =-1 \cdot 1 = -1

    concludiamo che la derivata di -x è uguale a -1

    \frac{d}{dx}[-x]=-x

    Derivata di -x con la definizione

    Se ancora non si conoscono le regole di derivazione, per calcolare la derivata di una funzione si può usare la definizione di derivata in un punto x_0 appartenente al dominio della funzione, considerando però x_0 come un punto generico.

    All'atto pratico si deve:

    - scrivere il rapporto incrementale della funzione f(x) in x_0

    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

    - calcolare il limite del rapporto incrementale per h \to 0.

    In una formula:

    f'(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

    Applichiamola per calcolare la derivata della funzione

    f(x)=-x

    Poiché x_0 va considerato come un punto generico, indichiamolo per comodità con x e calcoliamo:

    \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    Sostituiamo l'espressione analitica della funzione

    f(x)=-x

    e la sua valutazione in x+h

    f(x+h) = -(x+h) = -x-h

    Otteniamo così:

    \frac{d}{dx}[-x]=\lim_{h \to 0} \frac{-x-h-(-x)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{-x-h+x}{h}=

    Sommiamo i monomi simili

    =\lim_{h \to 0} \frac{-h}{h}=

    e semplifichiamo

    =\lim_{h\to 0} (-1) = -1

    Ci siamo! Anche con la definizione di derivata abbiamo ottenuto che la derivata di -x è uguale a -1.

    ***

    È tutto! Se vuoi ripassare le derivate o esercitarti, ti consigliamo di:

    - leggere la spiegazione sul calcolo delle derivate;

    - consultare l'elenco delle derivate fondamentali;

    - usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare i risultati delle derivate che calcoli autonomamente.

    Risposta di Galois
 
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