Soluzioni
  • Il teorema di struttura per i sistemi lineari permette di descrivere le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo partendo da una sua qualsiasi soluzione e usando l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo a esso associato.

    Prima di darne l'enunciato e fornire la dimostrazione è bene specificare le notazioni che useremo e richiamare qualche utile concetto.

    Per comodità di scrittura, per indicare un sistema lineare usiamo la forma matriciale

    A\mathbf{x}=\mathbf{b}

    dove A è la matrice dei coefficienti, \mathbf{x} è il vettore colonna delle incognite e \mathbf{b} è il vettore colonna dei termini noti.

    Diciamo sistema lineare omogeneo associato ad A\mathbf{x}=\mathbf{b} il sistema

    A\mathbf{x}=\mathbf{0}

    ottenuto sostituendo il vettore colonna \mathbf{b} dei termini noti col vettore nullo \mathbf{0}.

    Ricordiamo, infine, che \mathbf{v}_0 è una soluzione di A\mathbf{x}=\mathbf{b} se e solo se \mathbf{v}_0 soddisfa tutte le equazioni del sistema, ossia se e solo se A\mathbf{v}_0=\mathbf{b}.

    Enunciato del teorema di struttura

    Siano A\mathbf{x}=\mathbf{b} un sistema lineare e \mathbf{v}_0 una sua soluzione. Tutte e sole le soluzioni \mathbf{v} del sistema sono della forma

    \mathbf{v}=\mathbf{v}_0+\mathbf{w}

    dove \mathbf{w} è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato ad A\mathbf{x}=\mathbf{b}.

    Dimostrazione

    Per cominciare dimostriamo che tutte le soluzioni di A\mathbf{x}=\mathbf{b} sono della forma

    \mathbf{v}=\mathbf{v}_0+\mathbf{w}

    Sia \mathbf{v}_0 una soluzione di A\mathbf{x}=\mathbf{b} e prendiamo una soluzione \mathbf{w} del sistema lineare omogeneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} a esso associato.

    Per definizione di soluzione abbiamo che

    \\ A\mathbf{v}_0=\mathbf{b} \\ \\ A\mathbf{w}=\mathbf{0}

    Sommando membro a membro si ottiene

    A\mathbf{v}_0+A\mathbf{w}=\mathbf{b}+\mathbf{0}

    ossia

    A(\mathbf{v}_0+\mathbf{w})=\mathbf{b}

    il che vuol dire che \mathbf{v}_0+\mathbf{w} è soluzione di A\mathbf{x}=\mathbf{b}.

    Dimostriamo a questo punto che le soluzioni di A\mathbf{x}=\mathbf{b} sono solo della forma

    \mathbf{v}=\mathbf{v}_0+\mathbf{w}

    Supponiamo ora che \mathbf{v}_1 sia un'altra soluzione di A\mathbf{x}=\mathbf{b}; dobbiamo dimostrare che

    \mathbf{w}:=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_0

    è una soluzione di A\mathbf{x}=\mathbf{0}.

    Ancora una volta, per definizione di soluzione

    \\ A\mathbf{v}_1=\mathbf{b} \\ \\ A\mathbf{v}_0=\mathbf{b}

    Sottraendo membro a membro otteniamo che

    A(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_0)=\mathbf{0}

    e dunque \mathbf{w}:=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_0 è soluzione di A\mathbf{x}=\mathbf{0}.

    \square

    Esempio

    Consideriamo il seguente sistema lineare di 2 equazioni in 3 incognite

    \begin{cases}x-y+2z=2 \\ x+y+z=3\end{cases}

    È immediato verificare che \mathbf{v}_0=(1,1,1) è una sua soluzione.

    Scriviamo il sistema omogeneo a esso associato

    \begin{cases}x-y+2z=0 \\ x+y+z=0\end{cases}

    e troviamone le soluzioni con uno dei metodi di risoluzione dei sistemi lineari.

    Procediamo, ad esempio, col metodo di sostituzione. Ricaviamo il valore di x dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda

    \begin{cases}x=y-2z \\ (y-2z)+y+z=0\end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases}x=y-2z \\ y-2z+y+z=0\end{cases}\\ \\ \\  \begin{cases}x=y-2z \\ 2y-z=0\end{cases}

    Assegniamo a una delle incognite il ruolo di parametro libero. Ponendo y=\alpha, \mbox{ con } \alpha \in \mathbb{R} e sostituendo a ritroso si ottiene

    \begin{cases}y=\alpha \\ z=2y=2\alpha \\ x=y-2z=\alpha-2(2\alpha)=\alpha-4\alpha=-3\alpha\end{cases}

    Le soluzioni del sistema lineare omogeneo sono

    (x,y,z)=(-3\alpha, \ \alpha, \ 2\alpha) \mbox{ con } \alpha \in \mathbb{R}

    Per il teorema di struttura, le soluzioni del sistema di partenza sono

    (x,y,z)=(-3\alpha, \ \alpha, \ 2\alpha) + \mathbf{v}_0 = \\ \\ =(-3\alpha, \ \alpha, \ 2\alpha)+(1,1,1) = \\ \\ =(-3\alpha+1, \ \alpha+1, \ 2\alpha+1)

    Teorema di struttura e sottospazio affine

    In fin dei conti, all'atto pratico il teorema di struttura serve a poco; bisogna infatti sempre e comunque calcolare le soluzioni del sistema omogeneo associato a A\mathbf{x}=\mathbf{b} e, sebbene sia leggermente più semplice, tanto vale determinare direttamente le soluzioni del sistema non omogeneo.

    Il vero punto di forza del teorema di struttura è una delle sue conseguenze. Dal suddetto teorema segue infatti che l'insieme S delle soluzioni di un sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} si può scrivere come

    S=\mathbf{v}_0+W=\{\mathbf{v}_0+\mathbf{w} \ | \ \mathbf{w}\in W\}

    dove \mathbf{v}_0 è una soluzione di A\mathbf{x}=\mathbf{b} e W è l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} a esso associato.

    Ricordando che le soluzioni di un sistema lineare omogeneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} di n equazioni e a coefficienti in un campo \mathbb{K} sono un sottospazio vettoriale di \mathbb{K}^n, dal teorema di struttura segue che l'insieme delle soluzioni del sistema lineare A\mathbf{x}=\mathbf{b} è un sottospazio affine di \mathbb{K}^n.

    Per tutti gli approfondimento del caso vi rimandiamo alla lezione del precedente link. ;)

    Risposta di Galois
 
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